Integrare prin schimbare de variabilă

În analiza matematică, integrarea prin schimbarea de variabilă (sau prin substituție) este un procedeu de integrare care constă în înlocuirea unei variabile (sau a unei funcții) printr-o altă funcție sau alt parametru. Format:Nc

Există două astfel de metode.

Prima metodă de schimbare de variabilă

Această metodă se aplică pentru aflarea primitivei unei funcții $h:I\to ℝ,$ care poate fi scrisă sub forma:

$h(t)=f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t),\mathrm{\forall }t\in ℝ,$

unde $\varphi :I\to J$   este o funcție derivabilă, iar $f:I\to ℝ.$

Dacă funcția f admite o primitivă F, adică   $F^{\prime }=f,$   atunci, aplicând regula de derivare a funcțiilor compuse:

$h(t)=F^{\prime }(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)=(F\circ \varphi {)}^{\prime }(t),$

deci $F\circ \varphi$   este o primitivă a lui h.

Teoremă (prima metodă de schimbare de variabilă)

Fie I, J intervale din $ℝ$   și

$\varphi :I\to J$     $f:J\to ℝ$

funcții cu proprietățile:

$(\alpha )$   φ este derivabilă pe I,

$(\beta )$   f admite primitive (fie F o primitivă a sa).

Atunci funcția $(f\circ \varphi )\cdot {\varphi }^{\prime }$   admite primitive, iar funcția $F\circ \varphi$   este o primitivă a lui $(f\circ \varphi )\cdot {\varphi }^{\prime },$   adică:

$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)dt=F\circ \varphi +𝒞.$

Demonstrație. Funcția F fiind o primitivă a lui f, este derivabilă pe J și   $F^{\prime }=f.$ Însă φ este derivabilă pe I (ipoteza (α)), deci și   $F\circ \varphi$   este derivabilă pe I și:

$(F\circ \varphi {)}^{\prime }(t)=F^{\prime }(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)=f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{\forall }t\in I.$

Așadar, funcția   $F\circ \varphi$   este o primitivă a lui   $(f\circ \varphi )\cdot {\varphi }^{\prime }.$

A doua metodă de schimbare de variabilă

Această metodă se aplică atunci când se cunoaște o primitivă H a funcției   $h=(f\circ \varphi )\cdot {\varphi }^{\prime }$   și se cere să se găsească o primitivă F a funcției f; F se obține din H astfel:

$F=H\circ {\varphi }^{-1}.$

Vezi și

• Integrare prin părți