Polinom separabil

În matematică un polinom Format:Mvar(Format:Mvar) cu coeficienți peste un corp Format:Mvar este separabil dacă rădăcinile sale sunt distincte într-o închidere algebrică a Format:Mvar, adică numărul de rădăcini distincte este egal cu gradul polinomului.

Acest concept este strâns legat de cel de polinom liber de pătrate. Dacă Format:Mvar este un corp perfect, atunci cele două concepte coincid. În general, Format:Mvar(Format:Mvar) este separabil dacă și numai dacă este un polinom liber de pătrate peste orice corp care conține Format:Mvar, care este valabil dacă și numai dacă Format:Mvar(Format:Mvar) este coprim față de derivata sa Format:Mvar(Format:Mvar).

Vechea definiție

Într-o definiție mai veche Format:Mvar(Format:Mvar) era considerat separabil dacă fiecare dintre factorii săi ireductibili din Format:Mvar[[[:Format:Mvar]]] este separabil conform definiției moderne. În această definiție separabilitatea depindea de corpul Format:Mvar, de exemplu, orice polinom peste un corp perfect ar fi fost considerat separabil. Această definiție, deși poate fi convenabilă pentru teoria lui Galois, nu mai este în uz.

Extensii de corp separabile

Polinoamele separabile sunt folosite pentru a defini Format:Ill-wd: o extensie de corp Format:Mvar este o extensie separabilă dacă și numai dacă pentru fiecare Format:Mvar, care este algebric peste Format:Mvar, polinomul minimal al lui Format:Mvar peste Format:Mvar este un polinom separabil.

Extensiile inseparabile (adică extensiile care nu sunt separabile) pot apărea numai în [[caracteristică (algebră) |caracteristica Format:Mvar]].

Criteriul de mai sus duce imediat la concluzia că dacă Format:Mvar este ireductibil și nu separabil, atunci Format:Mvar(Format:Mvar) = 0. Prin urmare

$P(X)=Q(X^p)$

pentru un polinom Format:Mvar peste Format:Mvar, unde numărul prim Format:Mvar este caracteristica.

Exemplu:

$P(X)=X^p-T$

Format:Mvar fiind corpul funcțiilor raționale în nedeterminata Format:Mvar peste câmpul finit cu elemente Format:Mvar. Aici se poate demonstra direct că Format:Mvar(Format:Mvar) este ireductibil și neseparabil. Acesta este de fapt un exemplu tipic în ce constă inseparabilitatea. În termeni geometrici Format:Mvar reprezintă aplicarea pe dreapta proiectivă peste corpul finit, luând coordonatele la puterea Format:Mvar. Astfel de aplicări sunt fundamentale pentru geometria algebrică a corpurilor finite. Cu alte cuvinte, există acoperiri în acel cadru care nu pot fi „văzute” de teoria Galois.

Dacă Format:Mvar este extensia de corp

$K(T{)}^{1/p},$

cu alte cuvinte, dacă este Format:Ill-wd al lui Format:Mvar, atunci Format:Mvar este un exemplu de extensie de corp pur inseparabilă. Este de gradul Format:Mvar, dar în afară de identitate nu are un automorfism care fixează Format:Mvar deoarece Format:Mvar^1/p este rădăcina unică a lui Format:Mvar. Acest lucru arată în mod direct că teoria Galois trebuie să se destrame aici. Un corp astfel încât să nu existe astfel de extensii se numește perfect. Că corpurile finite sunt perfecte rezultă a posteriori din structura lor cunoscută.

Se poate arăta că produsul tensorial de corpuri al Format:Mvar cu el însuși peste Format:Mvar pentru acest exemplu are elemente nilpotente care sunt diferite de zero. Aceasta este o altă manifestare a inseparabilității: adică, operația produsului tensorial pe corpuri nu trebuie să producă un inel care este un produs de corpuri (deci, nu un inel semisimplu comutativ).

Dacă Format:Mvar(Format:Mvar) este separabil, iar rădăcinile sale formează un grup (un subgrup al corpului Format:Mvar), atunci Format:Mvar(Format:Mvar) este un polinom aditiv.

Aplicații în teeoria lui Galois

Polinoamele separabile apar frecvent în teoria lui Galois.

De exemplu, fie Format:Mvar un polinom ireductibil cu coeficienți întregi și Format:Mvar un număr prim care nu divide coeficientul principal al lui Format:Mvar. Fie Format:Mvar polinomul peste corpul finit cu elemente Format:Mvar, care se obține prin reducerea modulo Format:Mvar a coeficienților lui Format:Mvar. Atunci, dacă Format:Mvar este separabil (ceea ce este cazul pentru orice Format:Mvar, dar finit), atunci gradele factorilor ireductibili ai lui Format:Mvar sunt lungimile permutărilor ciclice ale Format:Ill-wd al lui Format:Mvar.

Alt exemplu: Format:Mvar fiind ca mai sus, un rezolvant Format:Mvar pentru un grup Format:Mvar, este un polinom ai cărui coeficienți sunt polinoame cu coeficienții lui Format:Mvar, care oferă unele informații despre grupul Galois al lui Format:Mvar. Mai precis, dacă Format:Mvar este separabil și are o rădăcină rațională, atunci grupul Galois al lui Format:Mvar este conținut în Format:Mvar. De exemplu, dacă Format:Mvar este Format:Ill-wd lui Format:Mvar, atunci $X^2-D$ este o soluție pentru grupul altern. Acest rezolvant este întotdeauna separabil (presupunând că caracteristica nu este 2) dacă Format:Mvar este ireductibil, dar majoritatea rezolvanților nu sunt întotdeauna separabili.