Polinom aditiv

Format:Note de subsol2 În matematică polinoamele aditive sunt un subiect important în Format:Ill-wd.

Definiție

Fie Format:Mvar un corp de numere prime cu caracteristica Format:Mvar. Un polinom Format:Mvar(Format:Mvar) cu coeficienți în Format:Mvar se numește polinom aditiv sau polinom Frobenius dacă

$P(a+b)=P(a)+P(b)$

ca polinoame în Format:Mvar și Format:Mvar. Este echivalent să se presupună că această egalitate este valabilă pentru toate Format:Mvar și Format:Mvar într-un corp infinit care conține Format:Mvar, cum ar fi închiderea sa algebrică.

Ocazional, termenul de aditiv absolut este folosit pentru condiția de mai sus, iar aditiv este folosit pentru condiția mai slabă $P(a+b)=P(a)+P(b)$ pentru toate Format:Mvar și Format:Mvar din corp. Pentru corpuri infinite condițiile sunt echivalente, dar pentru corpurile finite nu sunt, iar condiția mai slabă este „greșită”, deoarece nu se comportă bine. De exemplu, peste un corp de ordin Format:Mvar orice Format:Mvar multiplu al lui $x^q-x$ va satisface $P(a+b)=P(a)+P(b)$ pentru toate Format:Mvar și Format:Mvar din domeniu, dar de obicei nu vor fi (absolut) aditive.

Exemple

Polinomul Format:Mvar este aditiv. Într-adevăr, pentru orice Format:Mvar și Format:Mvar din închiderea algebrică a lui Format:Mvar din binomul lui Newton avem

$(a+b{)}^p=\sum _{n=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})a^n{b}^{p-n}.$

Deoarece Format:Mvar este prim, pentru toți Format:Mvar = 1, ... , Format:Mvar−1 coeficientul binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})$ este divizibil cu Format:Mvar, ceea ce implică

$(a+b{)}^p\equiv a^p+b^{p}modp$

ca polinoame în Format:Mvar și Format:Mvar.

Similar, toate polinoamele de forma

${\tau }_p^n(x)=x^{p^n}$

sunt aditive, unde Format:Mvar este un număr întreg nenegativ.

Definiția are sens chiar dacă Format:Mvar este un corp de caracteristică 0, dar în acest caz singurele polinoame aditive sunt cele de forma Format:Mvar pentru unele Format:Mvar din Format:Mvar.

Inelul polinoamelor aditive

Este relativ ușor de demonstrat că orice Format:Ill-wd de polinoame ${\tau }_p^n(x)$ cu coeficienți în Format:Mvar este un polinom aditiv. O întrebare interesantă este dacă există și alte polinoame aditive, cu excepția acestor combinații liniare. Răspunsul este că acestea sunt singurele.

Se poate arăta că dacă Format:Mvar(Format:Mvar) și Format:Mvar(Format:Mvar) sunt polinoame aditive, atunci la fel sunt și $P(x)+M(x)$ și $P(M(x))$. Acestea implică faptul că polinoamele aditive formează un inel pentru adunarea polinoamelor și Format:Ill-wd. Acest inel este notat

$k\{{\tau }_p\}.$

Acest inel nu este comutativ decât dacă Format:Mvar este corpul ${𝔽}_p=𝐙/p𝐙$. Într-adevăr, fir polinoamele aditive Format:Mvar și Format:Mvar pentru un coeficient Format:Mvar din Format:Mvar. Pentru ca ele să fie comutative la compunere, trebuie să avem

$(ax{)}^p=a{x}^p,$

și prin urmare $a^p-a=0.$ Acest lucru este fals dacă Format:Mvar nu este o rădăcină a acestei ecuații, adică pentru Format:Mvar în afara ${𝔽}_p.$

Teorema fundamentală a polinoamelor aditive

Fie Format:Mvar(Format:Mvar) un polinom cu coeficienți în Format:Mvar și $\{w_1,\dots ,w_m\}\subset k$ mulțimea rădăcinile sale. Presupunând că rădăcinile lui Format:Mvar(Format:Mvar) sunt distincte (adică Format:Mvar(Format:Mvar) este un polinom separabil), atunci Format:Mvar(Format:Mvar) este aditiv dacă și numai dacă mulțimea $\{w_1,\dots ,w_m\}$ formează un subgrup.

Bibliografie

• Format:En icon David Goss, Basic Structures of Function Field Arithmetic, 1996, Springer, Berlin. Format:ISBN.

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld