Formula lui Bretschneider

Un patrulater convex oarecare

În geometrie, formula lui Bretschneider calculează aria unui patrulater convex oarecare în funcție de lungimea laturilor acestuia:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}.$

unde a, b, c, d reprezintă laturile, $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ - semiperimetrul, iar $\alpha$ și $\gamma$ două unghiuri opuse.

A fost descoperită în 1842 de Carl Anton Bretschneider. Formula a fost demonstrată în același an și de Karl Georg Christian von Staudt.

Demonstrație

Dacă A este aria patrulaterului, avem:

$\begin{array}{cc}K& =\text{aria }\mathrm{△}ADB+\text{aria }\mathrm{△}BDC\\ & =\frac{ad\sin \alpha }{2}+\frac{bc\sin \gamma }{2}.\end{array}$

Deci:

$4K^2=(ad{)}^2{\sin }^2\alpha +(bc{)}^2{\sin }^2\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

Din teorema cosinusului se obține:

$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma ,$

și care poate fi rescris ca:

$\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Înlocuind în formula de mai sus pentru $4A^2$ rezultă:

$4A^2+\frac{(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cdot \cos (\alpha +\gamma ).$

Aceasta mai poate fi scris ca:

$16A^2=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

Introducem semiperimetrul:

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

de unde

$16A^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

de unde rezultă formula lui Bretschneider.

Formule conexe

Formula lui Bretschneider generalizează formula lui Brahmagupta care la rândul acesteia generalizează formula lui Heron.

Legături externe

• Format:En icon Wolfram MathWorld