Ideal ireductibil

În matematică, despre un ideal propriu al unui inel comutativ se spune că este ireductibil dacă nu poate fi scris ca intersecția a două ideale strict mai mari.

Exemple

• Orice ideal prim este ireductibil. Fie $J$ și $K$ ideale ale un inel comutativ $R$, fără ca niciunul să fie conținut în celălalt. Atunci există $a\in J\setminus K$ și $b\in K\setminus J$, unde niciunul nu este în $J\cap K$ dar produsul este. Acest lucru demonstrează că un ideal reductibil nu este prim. Un exemplu concret în acest sens sunt idealele $2\mathbb{Z}$ și $3\mathbb{Z}$ conținute în $\mathbb{Z}$. Intersecția este $6\mathbb{Z}$, iar $6\mathbb{Z}$ nu este un ideal prim.
• Orice ideal ireductibil al unui Format:Ill-wd este un ideal primar, și, în consecință, pentru inelele noetheriene o descompunere ireductibilă este o Format:Ill-wd.
• Orice ideal primar al unui Format:Ill-wd este un ideal ireductibil.

Proprietăți

Un element al unui domeniu de integritate este prim dacă și numai dacă idealul generat de acesta este un ideal prim nenul. Acest lucru nu este valabil pentru idealele ireductibile; un ideal ireductibil poate fi generat de un element care nu este un element ireductibil, așa cum este cazul în $\mathbb{Z}$ pentru idealul $4\mathbb{Z}$, deoarece nu este intersecția a două ideale strict mai mari.

Un ideal Format:Mvar al unui inel Format:Mvar poate fi ireductibil numai dacă Format:Ill-wd pe care o definește este Format:Ill-wd (adică orice submulțime deschisă este densă) pentru Format:Ill-wd, sau echivalent dacă spațiul închis al Format:Ill-wd Format:Math format din idealele prime care îl conțin pe Format:Mvar este ireductibil în topologia spectrului. Reciproca nu este valabilă; de exemplu, idealul de polinoame în două variabile fără termeni de ordinul întâi și al doilea nu este ireductibil.

Dacă Format:Math este un corp algebric închis, alegerea radicalului unui ideal ireductibil al unui inel de polinoame peste Format:Math este exact la fel cu alegerea unei Format:Ill-wd a unei Format:Ill-wd în spațiul afin al geometriei algebrice.