8-cub

În geometrie, un 8-cub este un hipercub cu opt dimensiuni, având 256 de vârfuri, 1024 de laturi, 1792 de fețe pătrate, 1792 de celule cubice, 1120 fețe tesseractice (cvadridimensionale), 448 fețe Format:Ill-wd (pentadimensionale), 112 fețe Format:Ill-wd (hexadimensionale) și 16 fețe 7-cubice (heptadimensionale).

Este reprezentat prin simbolul Schläfli {4,3⁶}, fiind compus din 3 7-cuburi în jurul fiecărei fețe de hexadimensionale. Poate fi numit și octeract, un cuvânt telescopat din tesseract (4-cub) și oct pentru opt (dimensiuni) în greacă. Poate fi, de asemenea, numit un hexdeca-8-tope regulat sau hexadecazetton, fiind un Format:Ill-wd construit din 16 fațete regulate.

Face parte dintr-o familie infinită de politopuri, numite hipercuburi. Dualul unui 8-cub poate fi numit Format:Ill-wd și face parte din familia infinită a ortoplexurilor.

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene pentru vârfurile unui 8-cub centrat la origine și cu lungimea laturii 2 sunt

(±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1)

în timp ce interiorul acestuia este format din toate punctele (x₀, x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇) cu -1 < x _i < 1.

Configurație

Matricea configurației de mai jos reprezintă 8-cubul. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor, celulelor, fețelor de 4 dimensiuni, fețelor de 5 dimensiuni, fețelor de 6 dimensiuni și fețelor de 7 dimensiuni. Numerele de pe diagonală arată câte elemente din fiecare tip apar în întregul 8-cub. Numerele din afara diagonalei arată câte dintre elementele coloanei apar în sau la elementul rândului.

$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccccccc}256& 8& 28& 56& 70& 56& 28& 8\\ 2& 1024& 7& 21& 35& 35& 21& 7\\ 4& 4& 1792& 6& 15& 20& 15& 6\\ 8& 12& 6& 1792& 5& 10& 10& 5\\ 16& 32& 24& 8& 1120& 4& 6& 4\\ 32& 80& 80& 40& 10& 448& 3& 3\\ 64& 192& 240& 160& 60& 12& 112& 2\\ 128& 448& 672& 560& 280& 84& 14& 16\end{array}\end{array}\right]$

Numerele diagonale ale vectorului f sunt derivate prin construcția Wythoff, împărțind ordinea completă a unui subgrup la ordinea subgrupului, prin îndepărtarea unui mirror pe rând.

B8	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	față k	fk	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	figură k	note
A7	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	( )	f0	256	8	28	56	70	56	28	8	Format:Ill-wd}	B8/A7 = 2^8*8!/8! = 256
A6A1	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	{ }	f1	2	1024	7	21	35	35	21	7	Format:Ill-wd}	B8/A6A1 = 2^8*8!/7!/2 = 1024
A5B2	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	{4}	f2	4	4	1792	6	15	20	15	6	Format:Ill-wd}	B8/A5B2 = 2^8*8!/6!/4/2 = 1792
A4B3	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	{4,3}	f3	8	12	6	1792	5	10	10	5	{3,3,3}	B8/A4B3 = 2^8*8!/5!/8/3! = 1792
A3B4	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	{4,3,3}	f4	16	32	24	8	1120	4	6	4	{3,3}	B8/A3B4 = 2^8*8!/4!/2^4/4! = 1120
A2B5	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	Format:Ill-wd}	f5	32	80	80	40	10	448	3	3	{3}	B8/A2B5 = 2^8*8!/3!/2^5/5! = 448
A1B6	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	Format:Ill-wd}	f6	64	192	240	160	60	12	112	2	{ }	B8/A1B6 = 2^8*8!/2/2^6/6!= 112
B7	Format:Diagramă Coxeter–Dynkin	{4,3,3,3,3,3}	f7	128	448	672	560	280	84	14	16	( )	B8/B7 = 2^8*8!/2^7/7! = 16

Proiecții

Acest grafic al 8-cubului este o proiecție ortogonală. Această orientare arată coloane de vârfuri poziționate la o distanță vârf-latură-vârf de la un vârf pe partea stângă la un vârf pe partea dreaptă, iar laturile atașează coloane adiacente de vârfuri. Numărul de vârfuri din fiecare coloană reprezintă rânduri din triunghiul lui Pascal, fiind 1:8:28:56:70:56:28:8:1.

Politopuri derivate

Aplicarea unei operații de alternare, ștergând vârfurile alternante ale octeractului, se creează un alt politop uniform, numit Format:Ill-wd, (parte a unei familii infinite numite demihipercuburi), care are 16 fațete Format:Ill-wd și 128 de fațete de 8-simplex.

Bibliografie

• H.S.M. Coxeter:
  • Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, Format:ISBN, p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, Format:ISBN [1]
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
• Format:KlitzingPolytopes

Legături externe

• Format:MathWorld
• Format:GlossaryForHyperspace
• Multi-dimensional Glossary: hypercube Garrett Jones