Funcția zeta Selberg

Format:Note de subsol2Funcția zeta Selberg a fost introdusă de Atle Selberg în 1956. Este analoagă cu celebra funcție zeta Riemann

$\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}$

unde $\mathbb{P}$ este mulțimea numerelor prime. Funcția zeta Selberg folosește lungimile geodezicelor închise simple în loc de numerele prime. Dacă $\mathrm{\Gamma }$ este un subgrup al SL(2,R), funcția zeta Selberg asociată este definită astfel:

${\zeta }_{\mathrm{\Gamma }}(s)=\prod _p(1-N(p{)}^{-s}{)}^{-1},$

sau

$Z_{\mathrm{\Gamma }}(s)=\prod _p\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-N(p{)}^{-s-n}),$

unde Format:Mvar se referă la Format:Ill-wd ale geodezicelor prime (în mod echivalent, clasele de conjugare ale elementelor hiperbolice primitive ale $\mathrm{\Gamma }$), iar Format:Math denotă lungimea Format:Mvar (în mod echivalent, pătratul valorii proprii mai mari a lui Format:Mvar).

Pentru orice suprafață hiperbolică de arie finita exista o funcție zeta Selberg asociată; această funcție este o funcție meromorfă definită în planul complex. Funcția zeta este definită în termeni de geodezice închise ale suprafeței.

Zerourile și polii funcției zeta Selberg, Format:Math, pot fi descrise în termeni de date spectrale ale suprafeței.

Zerourile sunt în următoarele puncte:

1. Pentru fiecare formă cu punct de întoarcere cu valoare proprie $s_0(1-s_0)$ există un zero în punctul $s_0$. Ordinul zeroului este egal cu dimensiunea spațiului propriu corespunzător. (O formă cu punct de întoarcere este o funcție proprie pentru Format:Ill-wd care are dezvoltarea Fourier cu termenul constant zero.)
2. Funcția zeta are, de asemenea, un zero la fiecare pol al determinantului Format:Ill-wd, $\varphi (s)$. Ordinul zeroului este egal cu ordinul polului corespunzător al matricei S.

Funcția zeta are, de asemenea, poli în $1/2-\mathbb{N}$ și poate avea zerouri sau poli în punctele $-\mathbb{N}$.

Funcția zeta Ihara este considerată un analog p-adic (și un analog în teoria grafurilor) al funcției zeta Selberg.

Funcția zeta Selberg pentru grupul modular

În cazul în care suprafața este $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{ℍ}^2$, unde $\mathrm{\Gamma }$ este un Format:Ill-wd, funcția zeta Selberg prezintă un interes deosebit. În acest caz particular funcția zeta Selberg este strâns legată de funcția zeta Riemann.

În acest caz determinantul matricei S este:

$\phi (s)={\pi }^{1/2}\frac{\mathrm{\Gamma }(s-1/2)\zeta (2s-1)}{\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (2s)}.$

Dacă funcția zeta Riemann are un zero în $s_0$, atunci determinantul matricei S are un pol în $s_0/2$, prin urmare funcția zeta Selberg are un zero în $s_0/2$.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Henryk Iwaniec, Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002.
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982
• Format:En icon Toshikazu Sunada, L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Curvature and Topology of Riemannian Manifolds", Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284.