Funcția zeta Ihara

În matematică funcția zeta Ihara este o funcție asociată cu un graf finit. Seamănă cu funcția zeta Selberg și este folosită pentru a lega drumurile închise cu spectrul matricei de adiacență. Funcția zeta Ihara a fost definită pentru prima dată de Yasutaka Ihara în anii 1960 în contextul subgrupurilor discrete de două câte două Format:Ill-wd din Format:Ill-wd. Jean-Pierre Serre a sugerat în cartea sa Trees (în Format:Ro) că definiția originală a lui Ihara poate fi reinterpretată conform teoriei grafurilor. Toshikazu Sunada a fost cel care a pus această sugestie în practică în 1985. După cum a observat Sunada, un graf regulat este un Format:Ill-wd dacă și numai dacă funcția sa zeta Ihara satisface un analog al ipotezei Riemann.

Definiție

Funcția zeta Ihara este definită ca Format:Ill-wd a produsului infinit

${\zeta }_G\left(u\right)=\prod _p\frac{1}{1-u^{\mathrm{L}(p)}}$

Produsul din definiție este aplicabil pe toate geodezicele închise Format:Mvar ale grafului $G=(V,E)$, unde geodezicele care diferă doar printr-o deplasare circulară sunt considerate egale. O geodezică închisă Format:Mvar pe Format:Mvar (cunoscută în teoria grafurilor ca „drum închis”) este un șir finit de noduri $p=(v_0,\dots ,v_{k-1})$ astfel încât

$(v_i,v_{(i+1)modk})\in E,$

$v_i\ne v_{(i+2)modk}.$

Numărul întreg Format:Mvar este lungimea $L(p)$ a lui Format:Mvar. Geodezica închisă Format:Mvar este primă dacă nu poate fi obținută prin repetarea de Format:Mvar ori a unei geodezice închise, pentru un Format:Math întreg.

Aceasta este formularea lui Sunada.

Formula lui Ihara

Ihara (și Sunada în teoria grafurilor) au arătat că pentru grafurile regulate funcția zeta este o funcție rațională. Dacă Format:Mvar este un graf (Format:Mvar+1)-regulat cu matricea de adiacență Format:Mvar atunci

${\zeta }_G(u)=\frac{1}{(1-u^2{)}^{r(G)-1}\det (I-Au+q{u}^{2}I)}$

unde $r(G)$ este Format:Ill-wd lui Format:Mvar. Dacă Format:Mvar este conex și are Format:Mvar noduri, $r(G)-1=(q-1)n/2$.

Funcția zeta Ihara este de fapt întotdeauna reciproca unui polinom de graf:

${\zeta }_G(u)=\frac{1}{\det (I-Tu)},$

unde Format:Mvar este operatorul de adiacență al lui Ki-ichiro Hashimoto.

Aplicații

Funcția zeta Ihara joacă un rol important în studiul Format:Ill-wd, a Format:Ill-wd și a sistemelor dinamice, în special a dinamicii simbolice, unde funcția zeta Ihara este un exemplu de funcție zeta Ruelle.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book