Geodezică închisă

În geometria diferențială o geodezică închisă pe o Format:Ill-wd este o geodezică care se întoarce la punctul său de pornire având aceeași direcție a tangentei. Poate fi formalizată ca proiecția unei orbite închise a fluxului geodezic în Format:Ill-wd al varietății.

Definiție

Într-o varietate riemanniană (Format:Mvar), o geodezică închisă este o curbă $\gamma :ℝ\to M$ care este o geodezică în metrica Format:Mvar și este periodică.

Geodezicele închise pot fi caracterizate prin intermediul unui principiu variațional. Notând cu $\mathrm{\Lambda }M$ spațiul curbelor netede 1-periodice pe Format:Mvar, geodezicele închise din perioada 1 sunt tocmai Format:Ill-wd ale funcției de energie $E:\mathrm{\Lambda }M\to ℝ$, definită de

$E(\gamma )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{g}_{\gamma (t)}(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))\mathrm{d}t.$

Dacă $\gamma$ este o geodezică închisă a perioadei Format:Mvar, curba reparametrizată $t\mapsto \gamma (pt)$ este o geodezică închisă a perioadei 1 și, prin urmare, este un punct critic al lui Format:Mvar. Dacă $\gamma$ este un punct critic al lui Format:Mvar, la fel sunt curbele reparametrizate ${\gamma }^m,$ pentru fiecare $m\in \mathbb{N},$ definit de ${\gamma }^m(t):=\gamma (mt).$ Astfel, fiecare geodezică închisă pe Format:Mvar dă naștere la o succesiune infinită de puncte critice ale energiei Format:Mvar.

Exemple

Pe sfera unitate $S^n\subset {ℝ}^{n+1}$ cu metrica riemanniană rotundă standard, fiecare cerc mare este un exemplu de geodezică închisă. Astfel, pe sferă toate geodezicele sunt închise. Pe o suprafață netedă echivalentă topologic cu sfera, acest lucru poate să nu fie adevărat, dar există întotdeauna cel puțin trei geodezice închise simple; aceasta este teorema celor trei geodezice. Varietăți ale căror geodezice sunt închise au fost investigate amănunțit în literatura de specialitate. Pe o Format:Ill-wd hiperbolică compactă, al cărei grup fundamental nu are Format:Ill-wd, geodezicele închise sunt în corespondență biunivocă cu Format:Ill-wd netriviale de elemente din Format:Ill-wd al suprafeței.

Bibliografie

• Format:En icon Arthur Besse, „Manifolds all of whose geodesics are closed”, Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978