Distanță Minkowski

Nu confundați cu metrica pseudoeuclidiană a spațiului Minkowski

Distanța Minkowski sau metrica Minkowski este o metrică într-un spațiu vectorial normat, care poate fi considerată ca o generalizare atât a distanței euclidiene, cât și a distanței Manhattan. Este numită după matematicianul german Hermann Minkowski.

Definiție

Distanța Minkowski de ordinul $p$ (unde $p$ este un întreg) între două puncte $$X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\text{ and }Y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in {ℝ}^n$$ este definită drept: $$D(X,Y)={(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}.$$ Pentru $p\ge 1,$ distanța Minkowski este metrica care rezultă din inegalitatea lui Minkowski. Când $p<1,$ distanța între $(0,0)$ și $(1,1)$ este $2^{1/p}>2,$ dar punctul $(0,1)$ este la distanța $1$ de ambele aceste puncte. Deoarece aceasta nu corespunde inegalității triunghiului, pentru $p<1$ nu este o metrică. Totuși pentru aceste valori se poate obține o metrică prin simpla omitere a exponentului $1/p.$ Metrica rezultantă este o F-normă.

De obicei distanța Minkowski este folosită cu $p$ 1 sau 2, care corespund distanței Manhattan, respectiv distanței euclidiene. În cazul limită când $p$ tinde la infinit, se obține distanța Cebîșev: $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}={\max }_{i=1}^n|x_i-y_i|.$$

Similar, când $p$ tinde spre infinitul negativ, se obține: $$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}={\min }_{i=1}^n|x_i-y_i|.$$

Distanța Minkowski poate fi văzută și ca un multiplu al mediei generalizate a diferențelor dintre componentele $P$ și $Q.$

Următoarele figuri arată cercurile unitare (mulțimea tuturor punctelor care se află la distanța de o unitate față de centru) pentru diferite valori ale $p$: Format:Panorama

Bibliografie

• Florin Iocob, Matematică - Anul I: Cursul 6 Format:Webarchive, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2021-08-05

Legături externe

• Format:En icon Simple IEEE 754 implementation in C++
• Format:En icon NPM JavaScript Package/Module