Inegalitatea lui Minkowski

În analiza matematică, inegalitatea lui Minkowski reprezintă o generalizare a inegalității triunghiului și sugerează faptul că spațiile L^p sunt spații vectoriale normate.

Poartă numele matematicianului Hermann Minkowski.

Enunț

Propoziție. Fie  $a_i,b_i\in ℝ,1\le i\le n$  și  $p>0.$  Atunci:

${(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}$

$(1)$

dacă  $1\le p\le \mathrm{\infty }$ 

sau:

${\displaystyle }$

${(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/p}\ge {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}$

$(2)$

dacă  $0<p<1$ și  $a_i,b_i>0(1\le i\le n).$ 

Demonstrație

1) Fie  $1\le p<\mathrm{\infty }.$  Cazul când  $p=1$  sau  $\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p=0$  fiind evident, se presupune  $p>1$  și  $\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p\ne 0.$  Rezultă:

$|a_i+b_i{|}^p\le |a_i|\cdot |a_i+b_i{|}^{p-1}+|b_i|\cdot |a_i+b_i{|}^{p-1}.$

$(3)$

Însumând după  $i$  și folosind inegalitatea lui Hölder pentru  $q=\frac{p}{p-1},$  se obține succesiv:

$\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p\le \sum _{i=1}^n|a_i||a_i+b_i{|}^{p-1}+\sum _{i=1}^n|b_i|\cdot |a_i+b_i{|}^{p-1}\le$

$\le {(\sum _{i=1}^p|a_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^{(p-1)q})}^{1/q}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^{(p-1)q})}^{1/q}.$

Se simplifică prin  ${(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^{(p-1)q})}^{1/q}$  și se ține seama că  $(p-1)q=p,$  de unde rezultă:

${(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1-\frac{1}{q}}\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}.$

$(4)$

Înlocuind  $1-\frac{1}{q}$  prin  $\frac{1}{p},$  se obține egalitatea de demonstrat.

2) Fie  $0<p<1.$  Deoarece  $a_i>0,b_i>0,(\mathrm{\forall })i=\overline{1,n},$  inegalitatea (3) devine egalitate și raționamentul se continuă în mod similar.

Caz particular

$\sqrt{\sum _{i=1}^n(a_i+b_i{)}^2}\le \sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}+\sqrt{\sum _{i=1}^n{b}_i^2},$

unde $a_i,b_i\in ℝ,\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}.$