Determinant (matematică)

Determinantul este, în algebră, o funcție care atribuie oricărei matrici pătrate un număr.

Primele aplicații: arii și volume

Determinantul unei matrici 2×2

Fie matricea de tip 2×2: $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

determinantul acesteia este:

$\det (A)=ad-bc$

Interpretare vectorială

Determinantul vectorilor X și X' este dat de expresia analitică:

$\det (X,X^{\prime })=\left|\begin{array}{cc}x& x^{\prime }\\ y& y^{\prime }\end{array}\right|=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$

ceea ce este echivalent cu expresia geometrică:

$\det (X,X^{\prime })=\Vert X\Vert \cdot \Vert X^{\prime }\Vert \cdot \sin \theta$

unde $\theta$ este unghiul orientat format de vectorii X și X '.

Determinantul unei matrici 3×3

Fie matricea de tip 3×3:

$A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$

Dezvoltând după prima linie, obținem: $\begin{array}{cc}\det (A)& =a\left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|\\ & =aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg\\ & =(aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb),\end{array}$

Interpretare geometrică

Dacă X(a,b,c), Y(d,e,f), Z(g,h,i) sunt trei vectori orientați, atunci volumul paralelipipedului determinat de aceștia este:

$\det (X,Y,Z)=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$.

Proprietăți

1. Determinantul unei matrice $\mathrm{A}$ este egal cu determinantul matricei transpuse ${}^{t}A:det(A)=det({}^{t}A)$.
2. Dacă într-o matrice pătratică se schimbă între ele două linii (sau coloane) se obține o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
3. Dacă elementele unei linii (sau coloane) a matricei $\mathrm{A}$ se înmulțesc cu un număr $\text{k}$, se obține o matrice $\mathrm{C}$ al cărei determinant este egal cu $k*det(A)$.
4. Dacă elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice pătratică sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.
5. Dacă o matrice are două linii (coloane) identice, atunci determinantul ei este nul.
   Consecință:
   Fie $d=|a_{i,j}{|}_n$ un determinant de ordinul $\text{n}$. Pentru orice $i\ne j$ au loc egalitățile:
   1. $a_{i1}{\delta }_{j1}+a_{i2}{\delta }_{j2}+...+a_{in}{\delta }_{jn}=0$
   2. $a_{1j}{\delta }_{1i}+a_{2j}{\delta }_{2i}+...+a_{nj}{\delta }_{ni}=0$

Vezi și

• Spațiu vectorial
• Bază algebrică
• Procedeul Gram-Schmidt
• Teorema lui Laplace
• Transformări elementare ale matricilor

Bibliografie

• Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Paris, Hermann, 1977

Legături externe

• Format:En icon Sisteme liniare
• Format:En icon Online Matrix Calculator
• Format:Ro icon Format:YouTube
• Format:Ro icon Format:YouTube