Teorema lui Laplace (algebră)

În algebra liniară, teorema lui Laplace constituie o modalitate de a calcula determinantul unei matrice.

Enunțul acesteia este următorul: Se consideră matricea pătrată $A=(a_{ij})$ formată din n linii și n coloane. Atunci determinantul $D=det(a_{ij})$ este egal cu suma produselor minorilor de pe r linii, fixate prin complementele lor algebrice.

Este atribuită omului de știință Pierre-Simon Laplace.

Exemplu

Pentru calculul determinantului:

$D_5=\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0& 3\\ x& 0& 1& 0& 4\\ x& x& 0& 1& 5\\ x& x& x& 0& 6\end{array}\right|$

acesta se va dezvolta după primele două linii. Minorii acestor linii sunt în număr de $C_5^2=10,$ dar se vor considera doar cei nenuli și anume:

$M_{12}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1,M_{15}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right|=3,M_{25}=\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right|=-2.$

Complemenții algebrici ai acestora sunt:

$M{\text{'}}_{12}=(-1{)}^6\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ 0& 1& 5\\ x& 0& 6\end{array}\right|=6-4x,M{\text{'}}_{15}=(-1{)}^9\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ x& 0& 1\\ x& x& 0\end{array}\right|=-x,M{\text{'}}_{25}=(-1{)}^{10}\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ x& 0& 1\\ x& x& 0\end{array}\right|=x-x^2.$

Așadar:

$D_5=1\cdot (6-4x)+3\cdot (-x)+(-2)\cdot (x-x^2)=2x^2-9x+6.$

Teorema a doua a lui Laplace

O altă teoremă atribuită lui Laplace este următoarea: Suma produselor elementelor unei linii sau unei coloane ale unui determinant prin complementele algebrice corespunzătoare ale altei linii, respectiv coloane, este zero.

Vezi și

• Transformată Laplace