Cuadrică Klein

Format:Note de subsol2 În matematică dreptele unui Format:Ill-wd tridimensional, Format:Mvar, pot fi privite ca puncte ale unui spațiu proiectiv 5-dimensional, Format:Mvar. În acel 5-spațiu, punctele care reprezintă fiecare dreaptă din Format:Mvar se află pe o cuadrică Format:Mvar cunoscută sub numele de cuartica Klein.

Dacă spațiul vectorial subiacent al lui Format:Mvar este spațiul vectorial cvadridimensional Format:Mvar, atunci Format:Mvar are ca spațiu vectorial subiacent spațiul vectorial cu 6 dimensiuni pătrat exterior Format:Math din Format:Mvar. Format:Ill-wd obținute în acest fel sunt cunoscute drept Format:Ill-wd.

Aceste coordonate Plücker satisfac ecuația pătratică

$p_{12}{p}_{34}+p_{13}{p}_{42}+p_{14}{p}_{23}=0$

care definește pe Format:Mvar, unde

$p_{ij}=u_i{v}_j-u_j{v}_i$

sunt coordonatele dreptei generate de doi vectori Format:Mvar și Format:Mvar.

Spațiul tridimensional Format:Mvar poate fi reconstruit din cuadrica Format:Mvar: planele conținute în Format:Mvar se încadrează în două Format:Ill-wd, unde planele din aceeași clasă se întâlnesc într-un punct, iar planele din clase diferite se întâlnesc într-o dreaptă sau în mulțimea vidă. Fie aceste clase $C$ și $C^{\prime }$. Geometria lui Format:Mvar este preluată după cum urmează:

1. Punctele din Format:Mvar sunt planele din Format:Mvar.
2. Dreptele din Format:Mvar sunt punctele din Format:Mvar.
3. Planele din Format:Mvar sunt planele din Format:Mvar'.

Faptul că geometriile lui Format:Mvar și Format:Mvar sunt izomorfe poate fi explicat prin izomorfismul Format:Ill-wd Format:Mvar₃ și Format:Mvar₃.

Bibliografie

• Format:En icon Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry : from foundations to applications, page 169, Cambridge University Press Format:Isbn
• Format:En icon Arthur Cayley (1873) "On the superlines of a quadric surface in five-dimensional space", Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
• Format:De icon Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
• Format:En icon Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry, volume 1, Interpretation of line coordinates as point coordinates in S₅, page 331, Ginn and Company.
• Format:En icon Format:Citation.