Adunarea matricilor

Ilustrarea adunării a două matrici

În matematică adunarea matricilor este operația de a aduna două matrici prin adunarea elementelor corespunzătoare.

Pentru un vector, $\overrightarrow{v},$ adunarea a două matrici ar avea efectul geometric de a aplica fiecare transformare a matricei separat pe $\overrightarrow{v}$, și apoi adunarea vectorilor transformați.

$𝐀\overrightarrow{v}+𝐁\overrightarrow{v}=(𝐀+𝐁)\overrightarrow{v}$

Totuși, există și alte operații care ar putea fi considerate adunări pentru matrici, cum ar fi suma directă și suma Kronecker.

Suma pe elemente

Pentru a putea fi adunate, două matrici trebuie să aibă același număr de linii și coloane. În acest caz, suma a două matrici A și B va fi o matrice care are același număr de linii și coloane ca și A și B. Suma lui A și B, notată Format:Nowrap, se calculează prin adunarea elementelor corespunzătoare din A și B:

$\begin{array}{cc}𝐀+𝐁& =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]\\ \end{array}$

Sau, mai concis (presupunând că Format:Nowrap):

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

De exemplu:

$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+0& 3+0\\ 1+7& 0+5\\ 1+2& 2+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 8& 5\\ 3& 3\end{array}\right]$

Similar, este posibilă și scăderea unei matrice din alta, atâta timp cât au aceleași dimensiuni. Diferența dintre A și B, notată Format:Nowrap, se calculează prin scăderea elementelor lui B din elementele corespunzătoare ale lui A și are aceleași dimensiuni ca și A și B. De exemplu:

$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 7& 5\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1-0& 3-0\\ 1-7& 0-5\\ 1-2& 2-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -6& -5\\ -1& 1\end{array}\right]$

Proprietăți ale adunării pe elemente

Asociativitate. Adunarea este asociativă, adică:

$(A+B)+C=A+(B+C),\mathrm{\forall }A,B,C\in M_{m,n}(ℂ).$

Comutativitate. Adunarea este comutativă, adică:

$A+B=B+A,\mathrm{\forall }A,B\in M_{m,n}(ℂ).$

Element neutru. Adunarea admite matricea nulă ca element neutru, adică:

$\mathrm{\exists }{O}_{m,n}\in M_{m,n}(ℂ)$ astfel încât $A+O_{m,n}=A\mathrm{\forall }A\in M_{m,n}(ℂ).$

Element opus. Orice matrice $A\in M_{m,n}(ℂ)$ are un opus, notat $-A,$ astfel încât:

$A+(-A)=O_{m,n}.$

Suma directă

O altă operație, care este folosită mai rar, este suma directă (notată cu ⊕). Suma Kronecker se notează și ea cu ⊕; contextul ar trebui să clarifice despre ce este vorba. Suma directă a oricărei perechi de matrici A cu dimensiunea m × n și B cu dimensiunea p × q este o matrice de dimensiune (m + p) × (n + q), definită drept:

$𝐀\oplus 𝐁=\left[\begin{array}{cc}𝐀& 0\\ 0& 𝐁\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1q}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& b_{p1}& \cdots & b_{pq}\end{array}\right]$

De exemplu,

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\oplus \left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 2& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Suma directă a matricilor este un tip particular de matrice de blocuri. În particular, suma directă a matricelor pătrate este o matrice de blocuri diagonală.

Matricea de adiacență a reuniunii de grafuri (sau multigrafuri) disjuncte este suma directă a matricilor de adiacență ale acestora. Orice element din Format:Ill-wd a două spații vectoriale de matrici poate fi reprezentat ca o sumă directă a două matrici.

În general, suma directă a n matrici este:

$\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{𝐀}_i=\mathrm{diag}({𝐀}_1,{𝐀}_2,{𝐀}_3,\dots ,{𝐀}_n)=\left[\begin{array}{cccc}{𝐀}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {𝐀}_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {𝐀}_n\end{array}\right]$

unde zerourile sunt de fapt blocuri de zerouri (adică matrici nule).

Suma Kronecker

Suma Kronecker este diferită de suma directă, dar se notează și ea cu ⊕. Acesta este definită folosind produsul Kronecker ⊗ și adunarea normală a matricilor. Dacă A este o matrice n × n, B este o matrice m × m și ${𝐈}_k$ este matricea unitate k × k, atunci suma Kronecker este definită prin:

$𝐀\oplus 𝐁=𝐀\otimes {𝐈}_m+{𝐈}_n\otimes 𝐁.$

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Înmulțirea matricilor

Legături externe

• Format:En icon Format:PlanetMath
• Format:En icon Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices
• Format:En icon Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations Format:Webarchive
• Format:En icon Matrix Algebra and R