Valuare p-adică

În teoria numerelor, valuarea Format:Nowrapă sau ordinul Format:Mvar-adic al unui număr întreg Format:Mvar este exponentul celei mai mari puteri a numărului prim Format:Mvar care îl divide pe Format:Mvar. Se notează cu ${\nu }_p(n)$. Echivalent, ${\nu }_p(n)$ este exponentul la care apare $p$ în descompunerea în factori primi a lui $n$.

Valuarea Format:Mvar-adică este o valuare și dă naștere unui analog al valorii absolute obișnuite. În timp ce completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută obișnuită are ca rezultat numerele reale $ℝ$, completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută $p$-adică are ca rezultat [[număr p-adic|numerele Format:Nowrape]] ${\mathbb{Q}}_p$.

Distribuția numerelor naturale prin valuarea lor 2-adică, etichetate cu puterile lui doi corespunzătoare în scriere zecimală. Zero are o valuare infinită.

Definiție și proprietăți

Fie Format:Mvar un număr prim.

Numere întregi

Valuarea Format:Mvar-adică a unui număr întreg $n$ este definită ca fiind

${\nu }_p(n)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{k\in {\mathbb{N}}_0:p^k\mid n\}& \text{dacă }n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{dacă }n=0,\end{array}$

unde ${\mathbb{N}}_0$ desemnează mulțimea numerelor naturale (inclusiv zero) și $m\mid n$ denotă divizibilitatea lui $n$ prin $m$. În particular, ${\nu }_p$ este o funcție ${\nu }_p:\mathbb{Z}\to {\mathbb{N}}_0\cup \{\mathrm{\infty }\}$.

De exemplu, ${\nu }_2(-12)=2$, ${\nu }_3(-12)=1$ și ${\nu }_5(-12)=0$ deoarece $|-12|=12=2^2\cdot 3^1\cdot 5^0$.

Uneori se folosește notația $p^k\parallel n$, însemnând $k={\nu }_p(n)$.

Dacă $n$ este un număr întreg pozitiv, atunci

${\nu }_p(n)\le {\log }_{p}n$;

aceasta rezultă direct din $n\ge p^{{\nu }_p(n)}$.

Numere raționale

Valuarea Format:Mvar-adică poate fi extinsă la numerele raționale prin funcția

${\nu }_p:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

definită prin

${\nu }_p\left(\frac{r}{s}\right)={\nu }_p(r)-{\nu }_p(s).$

De exemplu, ${\nu }_2\left(\frac{9}{8}\right)=-3$ și ${\nu }_3\left(\frac{9}{8}\right)=2$ deoarece $\frac{9}{8}=2^{-3}\cdot 3^2$.

Unele proprietăți sunt:

${\nu }_p(r\cdot s)={\nu }_p(r)+{\nu }_p(s),$

${\nu }_p(r+s)\ge \min \{{\nu }_p(r),{\nu }_p(s)\}.$

Mai mult, dacă ${\nu }_p(r)\ne {\nu }_p(s)$, atunci

${\nu }_p(r+s)=\min \{{\nu }_p(r),{\nu }_p(s)\},$

unde $\min$ este minimul (adică cel mai mic dintre cele două).

Valoarea absolută Format:Mvar-adică

Valoarea absolută Format:Mvar-adică pe $\mathbb{Q}$ este funcția

$|\cdot {|}_p:\mathbb{Q}\to {ℝ}_{\ge 0}$

definită prin

$|r{|}_p=p^{-{\nu }_p(r)}.$

Astfel, $|0{|}_p=p^{-\mathrm{\infty }}=0$ pentru orice $p$ și, de exemplu, $|-12{|}_2=2^{-2}=\frac{1}{4}$ și $|\frac{9}{8}{|}_2=2^{-(-3)}=8.$

Valoarea absolută Format:Mvar-adică este:

nenegativă	$|r{|}_p\ge 0$
pozitiv definită	$|r{|}_p=0⟺r=0$
multiplicativă	$|rs{|}_p=|r{|}_p|s{|}_p$
nearhimediană	$|r+s{|}_p\le \max (|r{|}_p,|s{|}_p)$

Din proprietatea de multiplicativitate $|rs{|}_p=|r{|}_p|s{|}_p$ rezultă că $|1{|}_p=1=|-1{|}_p$ pentru rădăcinile unității $1$ și $-1$ și în consecință și $|-r{|}_p=|r{|}_p.$ Subaditivitatea $|r+s{|}_p\le |r{|}_p+|s{|}_p$ rezultă din inegalitatea triunghiului nearhimediană $|r+s{|}_p\le \max (|r{|}_p,|s{|}_p)$.

Alegerea bazei Format:Mvar în puterea $p^{-{\nu }_p(r)}$ nu face nicio diferență pentru majoritatea proprietăților, dar menține formula produsului:

$\prod _{0,p}|r{|}_p=1$

unde produsul se face după toate numerele prime Format:Mvar și valoarea absolută obișnuită, notată $|r{|}_0$. Aceasta rezultă considerând descompunerea în factori primi: fiecare factor $p^k$ contribuie prin inversul său la valoarea absolută Format:Mvar-adică a sa, iar apoi valoarea absolută arhimediană uzuală le simplifică pe toate.

Un spațiu metric poate fi format pe mulțimea $\mathbb{Q}$ cu o metrică (nearhimediană, invariantă la translații)

$d:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to {ℝ}_{\ge 0}$

definită prin

$d(r,s)=|r-s{|}_p.$

Completarea lui $\mathbb{Q}$ în raport cu această metrică conduce la mulțimea ${\mathbb{Q}}_p$ a numerelor Format:Mvar-adice.

Vezi și

• [[număr p-adic|Număr Format:Mvar-adic]]
• Valuare (algebră)
• Proprietate arhimediană
• Multiplicitate (matematică)
• Teorema lui Ostrowski
• Formula lui Legendre