Axioma lui Arhimede

A nu se confunda cu principiul lui Arhimede din hidrostatică!

Axioma lui Arhimede reprezintă o proprietate specifică anumitor grupuri și corpuri din teoria structurilor algebrice.

Alte denumiri:

• Lema (proprietatea) lui Arhimede
• Axioma continuității
• Axioma (teorema) lui Eudoxus.

Istoric

Atribuit lui Arhimede (sec. III î.Hr.), axioma se regăsește în scrierile lui Eudoxus (secolul al IV-lea î.Hr. - Boyer & Merzbach, 1991), iar termenul este introdus de matematicianul austriac Otto Stolz în 1883.

Enunț

Teoremă (principiul sau axioma lui Arhimede). Pentru orice numere reale $x,y\in ℝ$ cu $y>0$ există $n\in \mathbb{N}$ cu $x\le ny.$

Pentru a demonstra proprietatea lui Arhimede, se utilizează următoarea teoremă:

Teoremă. Pentru orice număr real x există un număr natural m astfel încât să avem:

$x\le m\le x+1.$

Demonstrație. Fie $x\in ℝ$ fixat. Presupunem că $x>n$ pentru orice $n\in \mathbb{N}.$ În consecință, mulțimea $\mathbb{N}$ este mărginită deci ar admite o margine superioară $z\in ℝ.$ Din definiția marginii superioare, rezultă că există $n_0\in \mathbb{N}$ cu $z-1<n_0<z,$ de unde avem că $z=\sup \mathbb{N}<n_0+1$ absurd deoarece $\mathbb{N}$ este inductivă (aceasta provine chiar din axiomele mulțimii $\mathbb{N}$) și ca atare $n_0+1\in N.$ Așadar există un $m\in \mathbb{N}$ cu $x\le m.$

Fie mulțimea:

$A=\{n\in \mathbb{N}|x<n\}.$

Mulțimea A este mărginită inferior deci există $y\in ℝ$ cu $y=\inf A.$ Din definiția infimumului există pentru un $\epsilon <1$ un $m_0\in A$ cu $y<m_0<y+\epsilon .$ Fie $n\in A$ arbitrar. Evident nu putem avea $n<y.$ Așadar avem fie $y<n<m_0<y+\epsilon$ fie $m_0<n.$ În prima situație ar rezulta că $m_0-n<\epsilon$ absurd. Așadar pentru orice $n\in A$ avem $m_0<n$ ceea ce înseamnă că $m_0\inf A.$ întrucât $m_0\in A$ rezultă că $x<m_0$ iar dacă am avea $x+1<m_0$ ar rezulta că $x<m_0-1$ deci $m_0$ nu ar mai fi $\inf A$ absurd. Așadar avem și relația $m_0<x+1.$

Acum pentru demonstrarea proprietății lui Arhimede, se vor considera cazurile:

• $x\le 0$, atunci se ia $n=1.$
• $x>0.$ Având în vedere că $x{y}^{-1}>0,$ putem aplica teorema precedentă.

Deci există $n\in \mathbb{N}$ cu $x{y}^{-1}<n$ de unde rezultă axioma lui Arhimede.

Legături externe

• WolframAlpha.com Format:Webarchive