Ideal primar

În matematică, în special algebra comutativă, se spune că un ideal Format:Mvar propriu al unui inel comutativ Format:Mvar este primar dacă ori de câte ori Format:Mvar este un element din Format:Mvar, atunci Format:Mvar sau Format:Mvar sunt și ele elemente din Format:Mvar pentru unele Format:Mvar De exemplu, în inelul numerelor întregi Z, (Format:Mvar) este un ideal primar dacă Format:Mvar este un număr prim.

Noțiunea de ideal primar este importantă în teoria inelelor comutative deoarece orice ideal al unui Format:Ill-wd are o Format:Ill-wd, adică poate fi scris ca o intersecție a unui număr finit de ideale primare. Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema Lasker–Noether. În consecință, un ideal ireductibil al unui inel noetherian este primar.

Există diferite metode de generalizare a idealelor primare la inele necomutative^[1] dar de obicei subiectul este studiat pentru inelele comutative. Prin urmare, se presupune că inelele din acest articol sunt inele comutative cu Format:Ill-wd

Exemple și proprietăți

Definiția poate fi reformulată într-o manieră mai simetrică: un ideal $𝔮$ este primar dacă, ori de câte ori $x y \in 𝔮$ , avem $x \in 𝔮$ sau $y \in 𝔮$ sau $x, y \in \sqrt{𝔮}$ . (Aici $\sqrt{𝔮}$ este radicalul lui $𝔮$ .)
Un ideal Format:Mvar al lui Format:Mvar este primar dacă și numai dacă orice divizor al lui zero din Format:Mvar este nilpotent. (A se compara acest lucru cu cazul idealelor prime, unde Format:Mvar este prim dacă și numai dacă orice divizor al lui zero din Format:Mvar este de fapt zero.)
Orice ideal prim este primar și, în plus, un ideal este prim dacă și numai dacă este primar și semiprim (numit și radicalul idealului în cazul comutativ).
Orice ideal primar este un ideal principal.^[2]
Dacă Format:Mvar este un ideal primar, atunci radicalul lui Format:Mvar este în mod necesar un ideal prim Format:Mvar, iar acest ideal se numește idealul prim asociat al Format:Mvar. În această situație, se spune că Format:Mvar este Format:Mvar-primar.

Pe de altă parte, un ideal al cărui radical este prim nu este neapărat primar: de exemplu, dacă $R = k [x, y, z] / (x y - z^{2})$ , $> 𝔭 = (\overline{x}, \overline{z})$ și $𝔮 = 𝔭^{2}$ , atunci $𝔭$ este prim și $\sqrt{𝔮} = 𝔭$ , dar avem $\overline{x} \overline{y} = {\overline{z}}^{2} \in 𝔭^{2} = 𝔮$ , $\overline{x} ν \in 𝔮$ și ${\overline{y}}^{n} \in̸ 𝔮$ pentru orice Format:Mvar > 0, deci $𝔮$ nu este primar. Descompunerea primară a $𝔮$ este $(\overline{x}) \cap ({\overline{x}}^{2}, \overline{x} \overline{z}, \overline{y})$ ; aici $(\overline{x})$ este $𝔭$ -primar și $({\overline{x}}^{2}, \overline{x} \overline{z}, \overline{y})$ este $(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})$ -primar.

Un ideal al cărui radical este maximal este însă primar.
Orice ideal Format:Mvar cu radicalul Format:Mvar este conținut în cel mai mic ideal Format:Mvar- primar: toate elementele Format:Mvar astfel încât Format:Mvar pentru unele Format:Mvar.

Dacă Format:Mvar este un ideal prim maximal, atunci orice ideal care conține o putere a lui Format:Mvar este Format:Mvar-primar. Nu toate idealele Format:Mvar-primare trebuie să fie puteri ale lui Format:Mvar, dar cel puțin ele conțin o putere a lui Format:Mvar; de exemplu, idealul (Format:Mvar²) este Format:Mvar-primar pentru idealul Format:Mvar = (Format:Mvar) în inelul Format:Math, dar nu este o putere a lui Format:Mvar, totuși îl conține pe Format:Mvar².
Dacă Format:Mvar este un inel noetherian și Format:Mvar un ideal prim, atunci nucleul lui $A \to A_{P}$ , aplicația de la Format:Mvar la Format:Ill-wd lui Format:Mvar la Format:Mvar, este intersecția tuturor idealelor primare Format:Mvar.^[3]
Un produs finit nevid de $𝔭$ -ideale primare este $𝔭$ -primar, dar un produs infinit de $𝔭$ -ideale primare poate să nu fie $𝔭$ -primar. Deoarece, de exemplu, într-un inel local noetherian cu idealul maximal $𝔪$ , $\cap_{n > 0} 𝔪^{n} = 0$ (teorema de intersecție a lui Krull) unde fiecare $𝔪^{n}$ este $𝔪$ -primar, de exemplu produsul infinit al idealului maximal (și, prin urmare, prim, și, prin urmare, primar) $m = ⟨ x, y ⟩$ al Format:Ill-wd $K [x, y] / ⟨ x^{2}, x y ⟩$ dă idealul nul, care în acest caz nu este primar (deoarece divizorul lui zero $y$ nu este nilpotent). De fapt, într-un inel noetherian un produs nevid al idealelor $𝔭$ -primare $Q_{i}$ este $𝔭$ -primar dacă și numai dacă există un întreg $n > 0$ astfel încât $𝔭^{n} \subset \cap_{i} Q_{i} .$ ^[4]

Note

↑ v. Chatters–Hajarnavis, Goldman, Gorton–Heatherly și Lesieur–Croisot.
↑ Demonstrația se găsește în lucrarea lui Fuchs.
↑ Atiyah–Macdonald, Corolarul 10.21
↑ Bourbaki, cap. IV, § 2, exercițiul 3

Bibliografie

Format:En icon Format:Citation
Format:Fr icon Format:Citation
Format:En icon Format:Citation
Format:En icon Format:Citation
Format:En icon Format:Citation
Format:En icon Fuchs, Ladislas, On primal ideals
Format:Fr icon Format:Citation

Legături externe

Format:Portal

Format:En icon Primary ideal la Enciclopedia Matematicii

[1] v. Chatters–Hajarnavis, Goldman, Gorton–Heatherly și Lesieur–Croisot.

[2] Demonstrația se găsește în lucrarea lui Fuchs.

[3] Atiyah–Macdonald, Corolarul 10.21

[4] Bourbaki, cap. IV, § 2, exercițiul 3

[1]

[2]

[3]

[4]

Ideal primar

Cuprins

Exemple și proprietăți

Note

Bibliografie

Legături externe

Meniu de navigare

Ideal primar

Exemple și proprietăți

Note

Bibliografie

Legături externe

Meniu de navigare

Căutare