Spectrul unei matrice

În matematică spectrul unei matrice este mulțimea valorilor proprii ale matricei.^[1]^[2]^[3]^[4] În general, dacă $T : V \to V$ este un operator liniar pe un spațiu vectorial finit dimensional, spectrul său este mulțimea de scalari $λ$ astfel încât $T - λ I$ nu este o funcție inversabilă. Determinantul matricei este egal cu produsul valorilor sale proprii. Similar, urma matricei este egală cu suma valorilor sale proprii.^[5]^[6]^[7] Din acest punct de vedere, se poate defini pseudodeterminantul unei matrice singulare ca fiind produsul valorilor proprii diferite de zero (densitatea Format:Ill-wd are nevoie de această noțiune).

Definiție

Fie Format:Mvar un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste un corp Format:Mvar și Format:Math o aplicație liniară. Spectrul lui, presupus a fi că Format:Mvar, notat Format:Math, este multimulțimea rădăcinilor Format:Ill-wd al lui Format:Mvar. Astfel, elementele spectrului sunt tocmai valorile proprii ale lui Format:Mvar, iar multiplicitatea unei valori proprii Format:Mvar din spectru este egală cu dimensiunea Format:Ill-wd a lui Format:Mvar pentru Format:Mvar.

Se alege o bază Format:Mvar a lui Format:Mvar peste Format:Mvar și fie Format:Mvar ∈ Mat_K(Format:Mvar) o matrice. Se definește aplicația liniară Format:Math punctual prin Format:Mvar, unde în partea dreaptă Format:Mvar este interpretat ca fiind un vector coloană, iar Format:Mvar acționează asupra lui Format:Mvar prin înmulțire matricială. Acum se spune că Format:Mvar este un vector propriu al lui Format:Mvar dacă Format:Mvar este un vector propriu al lui Format:Mvar. Similar, Format:Mvar este o valoare proprie a lui Format:Mvar dacă este o valoare proprie a lui Format:Mvar, și cu aceeași multiplicitate, iar spectrul lui Format:Mvar, notat σ_M, este multimulțimea tuturor acestor valori proprii.

Format:Ill-wd a unei Format:Ill-wd este o Format:Ill-wd a unei matrice diagonalizabile într-o formă canonică specifică, prin care matricea este reprezentată în termeni de vectori și valori proprii.

Format:Ill-wd a unei matrice pătrate este cea mai mare valoare absolută a valorilor sale proprii.^[1] În Format:Ill-wd, raza spectrală a unui Format:Ill-wd este Format:Ill-wd al valorilor absolute ale elementelor din spectrul acelui operator.