Polinom omogen

În matematică un polinom omogen este un polinom ai cărui termeni nenuli au toți același grad. De exemplu $x^5+2x^3{y}^2+9x{y}^4$ este un polinom omogen de gradul 5, de două variabile; suma exponenților din fiecare termen este întotdeauna 5. Polinomul $x^3+3x^{2}y+z^7$ nu este omogen, deoarece suma exponenților nu este aceeași la toți termenii. Funcția definită de un polinom omogen este întotdeauna o Format:Ill-wd.

O formă algebrică, sau pur și simplu formă, este o funcție definită printr-un polinom omogen. (Totuși, deoarece unii autori nu fac o deosebire clară între un polinom și funcția asociată acestuia, termenii de polinom omogen și formă sunt uneori considerați sinonimi.) O formă binară este o formă de două variabile. O „formă” este, de asemenea, o funcție definită pe un spațiu vectorial, care poate fi exprimată ca o funcție omogenă a coordonatelor peste orice bază.

Un polinom de gradul 0 este întotdeauna omogen; este pur și simplu un element al corpului sau al inelului coeficienților, numit de obicei „constantă”. O formă de gradul 1 este o formă liniară. (Formele liniare sunt definite numai pentru spațiile vectoriale finit dimensionale, prin urmare trebuie să fie distinse de funcționalele liniare, care sunt definite pentru fiecare spațiu vectorial. O „funcțională liniară” este rar folosită pentru spații vectoriale de dimensiuni finite.) O formă de gradul 2 este o formă pătratică. În geometrie, distanța euclidiană este rădăcina pătrată a unei forme pătratice.

Polinoamele omogene sunt omniprezente în matematică și fizică. (Polinoamele omogene în fizică apar adesea ca o consecință a analizei dimensionale, în care mărimile măsurate trebuie să corespundă fenomenelor din lumea reală.) Ele joacă un rol fundamental în geometria algebrică, ca Format:Ill-wd este definită ca mulțimea zerourilor comune ale unei mulțimi de polinoame omogene.

Proprietăți

Un polinom omogen definește o funcție omogenă. Aceasta înseamnă că, dacă un polinom Format:Mvar de mai multe variabile este omogen de gradul Format:Mvar, atunci

$P(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)={\lambda }^{d}P(x_1,\dots ,x_n)$

pentru orice $\lambda$ din orice corp care conține coeficienții lui Format:Mvar. Invers, dacă relația de mai sus este adevărată pentru un număr infinit de $\lambda ,$ atunci polinomul este omogen de gradul Format:Mvar.

În particular, dacă Format:Mvar este omogen, atunci

$P(x_1,\dots ,x_n)=0\Rightarrow P(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)=0$

pentru orice $\lambda .$ Această proprietate este fundamentală în definirea unei varietăți proiective.

Orice polinom diferit de zero poate fi descompus într-un mod unic ca o sumă de polinoame omogene de diferite grade, care sunt numite componentele omogene ale polinomului.

Fiind dat un Format:Ill-wd $R=K[x_1,\dots ,x_n]$ peste un corp (sau, mai general, un inel Format:Mvar, forma polinoamelor omogene de gradul Format:Mvar formează un spațiu vectorial (sau un Format:Ill-wd), denumit în mod obișnuit $R_d.$ Descompunerea unică de mai sus înseamnă că $R$ este Format:Ill-wd a $R_d$ (suma tuturor numerele întregi nenegative).

Dimensiunea spațiului vectorial $R_d$ este numărul de monoame diferite de gradul Format:Mvar în Format:Mvar variabile (adică numărul maxim de termeni nenuli într-un polinom omogen de grad Format:Mvar în Format:Mvar variabile). Este egală cu coeficientul binomial

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+n-1}{n-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+n-1}{d})=\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}.$

Un polinom omogen satisface identitatea lui Euler pentru funcțiile omogene. Adică, dacă Format:Mvar este un polinom omogen de grad Format:Mvar în variabilele $x_1,\dots ,x_n,$ el are, oricare ar fi inelul comutativ al coeficienților,

$dP=\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial P}{\partial x_i},$

unde $\frac{\partial P}{\partial x_i}$ este derivata parțială a lui Format:Mvar în funcție de $x_i.$

Omogenizare

Un polinom neomogen Format:Mvar(Format:Mvar₁, ... , Format:Mvar_n) poate fi omogenizat prin introducerea variabilei adiționale Format:Mvar₀ și definind polinomul omogen, uneori notat ^hFormat:Mvar:

${}^{h}P(x_0,x_1,\dots ,x_n)=x_0^{d}P(\frac{x_1}{x_0},\dots ,\frac{x_n}{x_0}),$

unde Format:Mvar este gradul lui Format:Mvar. De exemplu, dacă

$P=x_3^3+x_1{x}_2+7,$

atunci

$h^{}P=x_3^3+x_0{x}_1{x}_2+7x_0^3.$

Un polinom omogen poate fi deomogenizat prin adăugarea variabilei suplimentare Format:Mvar₀ = 1. Adică

$P(x_1,\dots ,x_n)={}^{h}P(1,x_1,\dots ,x_n).$

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:Mathworld