Analiză dimensională

Analiza dimensională este un instrument de principiu folosit în fizică, chimie și tehnică la înțelegerea situațiilor care implică utilizarea combinată a mai multor mărimi fizice. Este un instrument uzual al oamenilor de știință și inginerilor pentru a verifica plauzibilitatea diferitelor tipuri de unități de măsură derivate, a consistenței ecuațiilor și a metodelor de calcul. Este folosită de asemenea pentru a face ipoteze pertinente asupra fenomenelor fizice care să fie verificate experimental sau prin teorii mai evoluate.

Metoda de lucru algebric cu dimensiuni

• verificarea corectitudinii scrierii relațiilor fizice;
• obține rezultate noi din considerente pur dimensionale;

Principiul omogenității

Orice relație fizică (între mărimi) trebuie să treacă într-o relație matematică între numere. Pentru acestea termenii unei relații trebuie să fie omogeni = să aibă aceaṣi dimensiune = echidimensionali

Teorema invarianței

Pentru ca o relație fizică să fie invariantă la schimbarea unității de măsură este necesar ca mărimile derivate să se exprime în funcție de mărimile fundamentale ca un produs de puteri.

Exemplu

Fie $f(m,v,E_c)=0$, o relație funcțională pentru energia cinetică a punctului material, unde: $m$ este masa, $v$ este viteza și $E_c$ este energia cinetică.

Mărimi fundamentale pentru $E_c$: $m$, $v$

Mărimea derivată: $E_c$.

$E_c=m^{r_1}{v}^{r_2}$

$[E_c]=M{L}^2{T}^{-2};[m]=M;[v]=L{T}^{-1}$

$M{L}^2{T}^{-2}={(M)}^{r_1}{(L{T}^{-1})}^{r_2}$

deci $r_1=1;r_2=2$

$\Rightarrow E_c=Ct\cdot m{v}^2$

unde $Ct$ este o constantă.

Teorema Produselor

$f(x_1,\dots ,x_i,y_{k+1},\dots ,y_{k+j},\dots ,y_n)=0$

$f(\prod _{i=1}^N\dots \prod _{i=N-k}^N)=0$

unde $\prod _{i=N-k}^N$ - complexe adimensionale; k-rangul matricii dimensionale

$x_1\dots x_i\dots x_k\dots x_n$

$[x_i]=L^{\alpha i}{M}^{\beta i}\dots$

$\left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_1& \cdots & {\alpha }_n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \dots & \cdots & \dots \end{array}\right]$

$\begin{array}{c}\prod _a\end{array}=\frac{a}{\prod fundamentale}$

Exemplu (Similitudine)

Acceleraṭia căderii libere a unui corp la suprafaṭa unui astru sferic omogen de rază R și masă m depinde de: m, R, k unde k este constanta atracției universale. Dacă pentru un astru cu raza R ṣi masa m corpurile cad liber cu accelerația g=10 m/s la pătrat, cu ce accelerație vor cădea corpurile la suprafața unui astru cu raza R'=R/2 și de masă m'=m/10? (Planeta Marte).

• Rezolvare:

$g=f(m,R,K)$

$[g]=L{T}^{-2};[m]=M;[k]=L^3{T}^{-2}{M}^{-1}$

$f(m,R,K,g)=0\rightharpoondown n=4$

$rang=3;k=3;n-k=1$

$\begin{array}{c}\prod _g\end{array}=\frac{g}{m^{r_1}{R}^{r_2}{k}^{r_3}}$

$r_2+3r_3=1;r_1-r_3=0;-2r_3=-2$

$r_3=1;r_1=1;r_2=-2$

$\begin{array}{c}\prod _g\end{array}=\frac{g{R}^2}{mk}$

$\begin{array}{c}{\prod _g}^{\prime }\end{array}=\frac{g^{\prime }R{\text{'}}^2}{m^{\prime }{k}^{\prime }}$

• Din Teorema lui Newton:

$\begin{array}{c}{\prod _g}^{\prime }\end{array}=\begin{array}{c}\prod _g\end{array}$

$\frac{g{R}^2}{mk}=\frac{g^{\prime }R{\text{'}}^2}{m^{\prime }{k}^{\prime }}$

$\frac{g{R}^2}{mk}=\frac{g^{\prime }R{\text{'}}^2}{m^{\prime }{k}^{\prime }}$

$\frac{g{R}^2}{mk}=\frac{g\frac{R^2}{4}}{\frac{m}{10}k}$

$\Rightarrow g^{\prime }=4\frac{m}{s^2}$

Bibliografie

• Curs de fizică I UTCB - Construcții Civile