Interval unitate

Interval unitate ca submulțime a axei numerelor

În matematică intervalul unitate este intervalul închis Format:Math, adică mulțimea numerelor reale care sunt mai mari sau egale cu Format:Math și mai mici sau egale cu Format:Math. Este adesea notat cu Format:Mvar. Pe lângă rolul său în analiza reală, intervalul unitate este folosit pentru a studia teoria homotopiei în topologie.

În literatura de specialitate termenul „interval unitate” este uneori folosit și pentru celelalte forme pe care le-ar putea lua un interval de la 0 la 1: Format:Math, Format:Math și Format:Math. Totuși, notația Format:Mvar este de obicei rezervată pentru intervalul închis Format:Math.

Proprietăți

Intervalul unitate este un spațiu metric complet, Format:Ill-wd cu Format:Ill-wd. Ca spațiu topologic, este compact, contractibil și conex. Cubul Hilbert este obținut prin efectuarea unui produs topologic al mai multor (numărabile) copii ale intervalului unitate.

În analiza matematică, intervalul unitate este o varietate unidimensională a cărei frontieră constă din cele două puncte 0 și 1. orientarea standard a acesteia este de la 0 la 1.

Intervalul unitate este ordonat total și o Format:Ill-wd (fiecare subset al intervalului unitar are Format:Ill-wd).

Cardinalitate

Dimensiunea sau Format:Ill-wd unei mulțimi este numărul de elemente din ea.

Intervalul unitate este o submulțime al numerelor reale $ℝ$. Totuși, are aceeași dimensiune ca întreaga mulțime: Format:Ill-wd. Deoarece numerele reale pot fi folosite pentru a reprezenta puncte de-a lungul unei drepte infinit de lungi, acest lucru implică faptul că un segment de dreaptă de lungime 1, care este o parte a acelei drepte, are același număr de puncte ca întreaga dreaptă. Mai mult, are același număr de puncte ca un pătrat de arie 1, ca un cub de volum 1 și chiar ca un spațiu euclidian n-dimensional nemărginit ${ℝ}^n$ (v. și Format:Ill-wd).

Numărul de elemente (fie numere reale, fie puncte) din toate mulțimile menționate mai sus este nenumărabilă, deoarece este strict mai mare decât numărul de numere naturale.

Generalizări

Intervalul Format:Math, cu lungimea Format:Math, delimitat de unitățile pozitivă și negativă, apare frecvent, cum ar fi în codomeniul funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus și funcției hiperbolice th. Acest interval este domeniul de definiție al inverselor funcțiilor precedente. De exemplu, când Format:Mvar este limitat la Format:Math atunci $\sin \theta$ se află în acest interval, iar arcsinus este definit în acest interval.

Uneori, termenul de „interval unitate” este folosit pentru obiecte care în diferite ramuri ale matematicii joacă un rol analog cu rolul pe care îl joacă Format:Math în teoria omotopiei.

Logică fuzzy

În logică intervalul unitate Format:Math poate fi interpretat ca o generalizare a domeniului boolean Format:Math caz în care în loc să se ia doar valorile Format:Math sau Format:Math, poate fi presupusă orice valoare între acestea, inclusiv Format:Math și Format:Math. Din punct de vedere algebric, Format:Ill-wd (NU) este înlocuită cu Format:Math; conjuncția logică (ȘI) este înlocuită cu înmulțirea (Format:Math); iar disjuncția (OR) este definită conform legilor De Morgan ca Format:Math.

Interpretarea acestor valori ca valori de adevăr logice produce o Format:Ill-wd, care formează baza pentru logica fuzzy și Format:Ill-wd. În aceste interpretări, o valoare este interpretată ca „gradul” de adevăr — în ce măsură o propoziție este adevărată sau probabilitatea ca propoziția să fie adevărată.

Bibliografie

• Format:En icon Robert G. Bartle, 1964, The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons.

Vezi și

• Pătrat unitate
• Cub unitate
• Cerc unitate
• Disc unitate
• Sferă unitate