F-spațiu

În Format:Ill-wd un F-spațiu este un spațiu vectorial V pe mulțimea numerelor reale sau complexe împreună cu o metrică Format:Math astfel încât

1. Înmulțirea scalară în V este continuă în raport cu d și cu metrica standard pe ℝ sau ℂ.
2. Adunarea în V este continuă în raport cu d.
3. Metrica este invariantă la translație, adică Format:Math pentru orice x, y și a din V.
4. Spațiul metric Format:Math este complet.

Operația x ↦ ||x|| := d(0,x) este numită F-normă, deși în general nu este necesară o F-normă pentru a fi completă. Prin translație-invarianță, metrica este recuperabilă din F-normă. Astfel, un F-spațiu real sau complex este echivalent un spațiu vectorial real sau complex dotat cu o F-normă completă.

Unii autori folosesc termenul Format:Ill-wd în loc de F-spațiu, dar de obicei termenul „spațiu Fréchet” este rezervat F-spațiilor Format:Ill-wd. Alți autori folosesc termenul F-spațiu ca sinonim al spațiului Fréchet prin care ei înțeleg un Format:Ill-wd convex local complet Format:Ill-wd. Metrica poate fi sau nu neapărat parte a structurii unui F-spațiu; mulți autori cer doar ca un astfel de spațiu să fie metrizabil într-un mod care să satisfacă proprietățile de mai sus.

Exemple

Toate spațiile Banach și Fréchet sunt F-spații. În particular, un spațiu Banach este un F-spațiu cu o cerință suplimentară, Format:Nowrap.

Spațiile L^p pot fi transformate în F-spații pentru orice Format:Nowrap iar pentru Format:Nowrap ele pot fi transformate în convexe local, în spații Fréchet și chiar spații Banach.

Exemplul 1

$L^{\frac{1}{2}}[0,1]$ este un F-spațiu. Nu admite seminorme continue și nici funcționale liniare continue — are Format:Ill-wd trivial.

Exemplul 2

Fie $W_p(𝔻)$ spațiul valorilor complexe ale seriilor Taylor

$f(z)=\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n$

pe discul unitate $𝔻$ astfel încât

$\sum _n|a_n{|}^p<\mathrm{\infty }$

atunci (pentru Format:Nowrap) $W_p(𝔻)$ sunt F-spații cu p-norma:

$\Vert f{\Vert }_p=\sum _n|a_n{|}^p(0<p<1)$

De fapt, $W_p$ este o Format:Ill-wd. Mai mult, pentru orice $\zeta$ cu $|\zeta |\le 1$ aplicația $f\mapsto f(\zeta )$ este o transformare liniară mărginită (funcțională multiplicativă) pe $W_p(𝔻)$.

Condiții suficiente

Teorema Klee:Format:Sfn

Fie Format:Mvar orice metrică pe un spațiu vectorial Format:Mvar astfel încât topologia Format:Math indusă de Format:Mvar pe Format:Mvar transformă Format:Math într-un spațiu vectorial topologic. Dacă Format:Math este in spațiu metric complet, atunci Format:Math este un spațiu vectorial topologic complet.

Proprietăți conexe

• O transformare liniară aproape continuă într-un F-spațiu F al cărui grafic este închis este continuă.Format:Sfn
• O transformare liniară aproape deschisă într-un F-spațiu al cărui grafic este închis este neapărat o Format:Ill-wd.Format:Sfn
• O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu este neapărat o aplicație deschisă.Format:Sfn
• O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu a cărei imagine în codomeniu este din Format:Ill-wd este în mod necesar o aplicație deschisă surjectivă.Format:Sfn

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Cite book