Functor

În matematică, un functor este o aplicație între categorii. Functorii au fost analizați pentru prima oară în Format:Ill-wd, unde obiectele algebrice (cum ar fi Format:Ill-wd) sunt asociate spațiilor topologice, iar aplicațiile dintre aceste obiecte algebrice sunt asociate aplicațiilor continue între spații. În prezent, functorii sunt utilizați în întreaga matematică modernă cu referire la diferite categorii. Astfel, functorii sunt importanți în toate domeniile matematicii cărora li se aplică teoria categoriilor.

Cuvântul functor a fost împrumutat de matematicieni de la filozoful Rudolf Carnap, care îl folosea în contextul lingvisticii; vezi cuvânt gramatical.

Definiție

Fie C și D categorii. Un functor F de la C la D este o aplicație careFormat:Sfnp

• asociază fiecărui obiect Format:Math din C un obiect Format:Math din D,
• asociază fiecărui morfism $f:X\to Y$ din C un morfism $F(f):F(X)\to F(Y)$din D, astfel încât următoarele două condiții să fie valabile:
  • $F({\mathrm{i}\mathrm{d}}_X)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{F(X)}$ pentru orice obiect Format:Math din C,
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ pentru orice morfisme $f:X\to Y$și $g:Y\to Z$din C.

Adică functorii trebuie să conserve morfismul identitate și Format:Ill-wd de morfisme.

Covarianță și contravarianță

Există multe construcții în matematică care ar fi functori, cu excepția faptului că „inversează morfismele” și „se compun invers”. Atunci se definește un functor contravariant F de la C la D ca o aplicație care

• asociază fiecărui obiect Format:Math din C un obiect Format:Math din D,
• asociază fiecărui morfism $f:X\to Y$din C un morfism $F(f):F(Y)\to F(X)$ din D, astfel încât următoarele două condiții să fie valabile:
  • $F({\mathrm{i}\mathrm{d}}_X)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{F(X)}$pentru orice obiect Format:Math din C,
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$pentru orice morfisme $f:X\to Y$și $g:Y\to Z$din C.

Functorii contravarianți inversează direcția compoziției.

Functorii obișnuiți se numesc și functori covarianți pentru a-i distinge de cei contravarianți. Functorii contravarianți se pot defini și ca functori covarianți pe Format:Ill-wd Format:Math.Format:Sfnp Unii autori preferă să scrie toate expresiile covariant. Adică, în loc să spună că $F:C\to D$ este un functor contravariant, ei scriu pur și simplu $F:C^{\mathrm{op}}\to D$ (sau uneori $F:C\to D^{\mathrm{op}}$) și îl numesc functor.

Functorii contravarianți sunt numiți, uneori, și cofunctori.

Există o convenție referitoare la „vectori”Format:Mdash adică câmpuri vectoriale, elemente ale spațiului secțiunilor Format:Math al unui Format:Ill-wd Format:MathFormat:Mdash drept „contravariant” și la „covectori”Format:Mdash adică Format:Ill-wd, elemente ale spațiului secțiunilor Format:Math al unui fibrat cotangent Format:MathFormat:Mdash drept „covariant”. Această terminologie își are originea în fizică, iar raționamentul său are legătură cu poziția indicilor („sus” și „jos”) în Format:Ill-wd precum $x^i={\mathrm{\Lambda }}_j^i{x}^j$ pentru ${𝐱}^{\prime }=\mathrm{\Lambda }𝐱$ sau ${\omega }_i={\mathrm{\Lambda }}_i^j{\omega }_j$pentru În acest formalism se observă că simbolul transformării de coordonate ${\mathrm{\Lambda }}_j^i$ (reprezentând matricea Format:Math) acționează asupra vectorilor din bază „în același mod” ca și pe „coordonatele covectorului”: ${𝐞}_i={\mathrm{\Lambda }}_i^j{𝐞}_j$în vreme ce acționează „în sens invers” pe „coordonatele vectorului” (dar „în același mod” ca și pe covectorii din bază: ${𝐞}^i={\mathrm{\Lambda }}_j^i{𝐞}^j$). Această terminologie este contrară celei utilizate în teoria categoriilor, deoarece covectorii sunt cei care au în general pullback, și sunt astfel contravarianți, în timp ce, în general, vectorii sunt covarianți, deoarece asupra acestora se poate face push forward.

Functorul opus

Orice functor $F:C\to D$induce functorul opus $F^{\mathrm{op}}:C^{\mathrm{op}}\to D^{\mathrm{op}}$unde Format:Math și Format:Math sunt Format:Ill-wd ale lui Format:Math, respectiv Format:Math. Prin definitie, Format:Math mapează obiectele și morfismele identic cu Format:Math. Întrucât Format:Math nu coincide drept categorie cu Format:Math, și analog pentru Format:Math, Format:Math este distinct de Format:Math. De exemplu, când se face compunerea lui $F:C_0\to C_1$cu $G:C_1^{\mathrm{op}}\to C_2$, trebuie folosit fie $G\circ F^{\mathrm{op}}$, fie $G^{\mathrm{op}}\circ F$. Conform proprietății categoriilor opuse, ${\left(F^{\mathrm{op}}\right)}^{\mathrm{op}}=F$.

Bifunctori și multifunctori

Un bifunctor (cunoscut și ca un functor binar) este un functor al cărui domeniu este o Format:Ill-wd. De exemplu, Format:Ill-wd este de tipul Format:Nowrap . Acesta poate fi văzut ca un functor cu două argumente. Format:Ill-wd este un exemplu natural; este contravariant într-un argument, covariant în celălalt.

Un multifunctor este o generalizare a conceptului de functor la n variabile. De exemplu, un bifunctor este un multifunctor cu Format:Nowrap.

Exemple

Format:Ill-wd: pentru categoriile C și J, o diagramă de tip J în C este un functor covariant $D:J\to C$.

Format:Ill-wd: Pentru categoriile C și J, un J-prefascicul pe C este un functor contravariant $D:C\to J$.

Prefascicul: Dacă X este un spațiu topologic, atunci mulțimile deschise din X formează o Format:Ill-wd Open(X) în raport cu incluziunea. Ca orice mulțime parțial ordonată, Open(X) formează o categorie mică prin adăugarea unei singure săgeți Format:Nowrap dacă și numai dacă $U\subseteq V$. Functorii contravarianți pe Open(X) se numesc Format:Ill-wd pe X. De exemplu, atribuind fiecărei mulțimi deschise U Format:Ill-wd a funcțiilor continue cu valori reale pe U, se obține un prefascicul de algebre pe X.

Functor constantă: functorul Format:Nowrap care asociază fiecărui obiect din C un obiect fix X din D și oricărui morfism din C morfismul identitate pe X. Un astfel de functor se numește un functor constant sau de selecție.

Endofunctor: un functor care mapează o categorie la aceeași categorie; de exemplu, Format:Ill-wd.

Functorul identitate: în categoria C, scrisă 1_C sau id_C, mapează un obiect la sine însuși și un morfism la sine însuși. Functorul identitate este un endofunctor.

Functor diagonal: Format:Ill-wd este definit ca functorul de la D la categoria functorilor D^C care asociază fiecărui obiect din D functorul constant la acel obiect.

Functor limită: Pentru o Format:Ill-wd fixă J, dacă fiecare functor Format:Nowrap are o Format:Ill-wd (de exemplu dacă C este completă), atunci functorul limită Format:Nowrap atribuie fiecărui functor limita sa. Existența acestui functor poate fi demonstrată arătând că este Format:Ill-wd al Format:Ill-wd și invocând Format:Ill-wd. Aceasta necesită o versiune adecvată a axiomei alegerii. Observații similare se aplică functorului colimită (care este covariant).

Mulțimi ale părților: Functorul mulțimii părților Format:Nowrap asociază fiecărei mulțimi Format:Ill-wd ei, și fiecărei funcții $f:X\to Y$aplicația care asociază lui $U\subseteq X$imaginea sa $f(U)\subseteq Y$. Se poate considera și functorul contravariant al mulțimii părților care asociază pe $f:X\to Y$aplicației care asociază $V\subseteq Y$ imaginii sale inverse

Format:Visible anchor: aplicația care atribuie fiecărui spațiu vectorial Format:Ill-wd său, și fiecărei aplicații liniareFormat:Mdash duala sau transpusa ei este un functor contravariant aplicat pe categoria tuturor spațiilor vectoriale pe un corp fix, către el însuși.

Grupul fundamental: Considerând categoria Format:Ill-wd, adică spațiile topologice cu puncte distincte, obiectele sunt perechile Format:Nowrap, unde X este un spațiu topologic și x₀ este un punct din X. Un morfism de la Format:Nowrap la Format:Nowrap este dat de o aplicație continuă Format:Nowrap cu Format:Nowrap .

Pe orice spațiu topologic X cu punct distinctiv x₀, se poate defini Format:Ill-wd bazat în x₀, notat Format:Nowrap. Acesta este grupul claselor de Format:Ill-wd a buclelor bazate în x₀. Dacă Format:Nowrap este un morfism al Format:Ill-wd, atunci fiecare buclă din X cu punctul de bază x₀ poate fi compusă cu f pentru a obține o buclă în Y cu punctul de bază y₀. Această operație este compatibilă cu relația de echivalență a omotopiei și cu compoziția buclelor și se obține un omomorfism de grup de la Format:Nowrap la Format:Nowrap . Se obține astfel un functor de la categoria spațiilor topologice orientate la Format:Ill-wd.

În categoria spațiilor topologice (fără punct distinctiv), se iau în considerare clasele de omotopie ale curbelor generice, dar ele nu pot fi compuse decât dacă drept capăt un punct comun. Astfel, una este groupoidul fundamental în locul grupului fundamental, iar această construcție este functorială.

Algebra funcțiilor continue: un functor contravariant de la categoria spațiilor topologice (cu aplicațiile continue ca morfisme) la categoria Format:Ill-wd reale este dat atribuind fiecărui spațiu topologic X algebra C(X) a tuturor funcțiilor continue definite pe acel spațiu. Orice aplicație continuă Format:Nowrap induce un Format:Ill-wd Format:Nowrap prin regula Format:Nowrap pentru orice φ din C(Y).

Fibrate tangente și cotangente: Aplicațiile care asociază fiecărei Format:Ill-wd la Format:Ill-wd sa și la fiecărei Format:Ill-wd derivata sa este un functor covariant de la categoria varietăților diferențiabile la categoria Format:Ill-wd.

Făcând aceste construcții punctual rezultă Format:Ill-wd, un functor covariant de la categoria varietăților diferențiabile orientate la categoria spațiilor vectoriale reale. Analog, Format:Ill-wd este un functor contravariant, în esență, compoziția spațiului tangent cu spațiul dual de mai sus.

Produse tensoriale: Dacă cu C se notează categoria spațiilor vectoriale peste un corp fix, cu aplicațiile liniare ca morfisme, atunci Format:Ill-wd $V\otimes W$definește un functor Format:Nowrap care este covariant în ambele argumente.

Două consecințe importante ale axiomelor functorilor sunt:

• F transformă orice Format:Ill-wd din C într-o diagramă comutativă din D;
• dacă f este un izomorfism în C, atunci F(f) este un izomorfism în D.

Se pot compune functori, adică dacă F este un functor de la A la B și G este un functor de la B la C, atunci se poate forma functorul compus Format:Nowrap de la A la C. Compoziția functorilor este asociativă acolo unde este definită. Identitatea compoziției functorilor este functorul identitate. Aceasta arată că functorii pot fi considerați morfisme în categoriile de categorii, de exemplu în Format:Ill-wd.

O categorie mică cu un singur obiect este același lucru ca un monoid: morfismele unei categorii cu un singur obiect pot fi considerate ca elemente ale monoidului, iar compoziția din categorie este considerată operația monoidului. Functorii între categoriile cu un singur obiect corespund omomorfismelor monoidului. Deci, într-un sens, functorii dintre categoriile arbitrare sunt un fel de generalizare a omomorfismelor de monoid la categorii cu mai mult de un obiect.

Relația cu alte concepte de categorii

Fie $𝒞$și $𝒟$ categorii. Colecția tuturor functorilor $𝒞\to 𝒟$ formează obiectele unei categorii: Format:Ill-wd. Morfismele din această categorie sunt Format:Ill-wd între functori.

Functorii sunt adesea definiți prin Format:Ill-wd; exemple sunt Format:Ill-wd, Format:Ill-wd și Format:Ill-wd al grupurilor sau spațiilor vectoriale, construcția grupurilor și modulelor libere, limitele Format:Ill-wd și Format:Ill-wd. Conceptele de Format:Ill-wd generalizează mai multe dintre cele de mai sus.

Construcțiile universale dau adesea naștere unor perechi de Format:Ill-wd.

Implementări pe calculator

Functorii apar uneori în programarea funcțională. De exemplu, limbajul de programare Haskell are o Format:Ill-wd Functor unde fmap este o funcție politipică folosită pentru a mapa Format:Ill-wd (morfisme pe Hask, categoria tipurilor Haskell) între tipuri existente la funcții între unele tipuri noi.

Bibliografie

• Format:Citation.

Legături externe

• Format:Springer Format:Springer
• André Joyal, CatLab, un proiect wiki dedicat expunerii matematicii categorice
• Format:Citat web Format:Citat web Format:Citat webintroducerea formală în teoria categoriilor.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats Format:Webarchive
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: „Category Theory " - de Jean-Pierre Marquis. Bibliografie extensivă.
• Lista conferințelor academice de teoria categoriilor
• Baez, John, 1996, „The Tale of n-categories” . O introducere informală în categoriile de ordin superior.
• WildCats este un pachet de teoria categoriilor pentru Format:Ill-wd. Manipularea și vizualizarea obiectelor, morfismelor, categoriilor, functorilor, Format:Ill-wd, Format:Ill-wd.
• Catsters, un canal YouTube despre teoria categoriilor.
• Arhivă video de discuții înregistrate referitoare la categorii, logică și fundamentele fizicii.
• Pagină interactivă care generează exemple de construcții categorice în categoria mulțimilor finite.