Tensorul metric (relativitatea generală)

Format:Infocasetă În relativitatea generală, tensorul metric (în acest context, denumit adesea pe scurt metrică) este obiectul fundamental de studiu. Poate fi imaginat intuitiv ca o generalizare a Format:Ill-wd din teoria newtoniană a gravitației. Metrica surprinde însă toată structura geometrică și Format:Ill-wd a spațiului, fiind folosită pentru a defini noțiuni cum ar fi timpul, distanța, volumul, curbura, unghiul și separarea viitorului de trecut.

Notație și convenții

În tot acest articol se lucrează cu o Format:Ill-wd predominant pozitivă ( Format:Nowrap ); vezi Format:Ill-wd . Constanta gravitațională Format:Math va fi menținută explicită. Se folosește Format:Ill-wd, în care indicii repetați denotă însumare.

Definiție

Din punct de vedere matematic, spațiu-timpul este reprezentat printr-o Format:Ill-wd în patru dimensiuni Format:Math, iar tensorul metric este dat ca un tensor Format:Ill-wd, de grad doi, Format:Ill-wd pe Format:Math, notat convențional cu Format:Math. Mai mult, metrica trebuie să fie nedegenerată cu Format:Ill-wd Format:Nowrap. O varietate Format:Math echipată cu o astfel de metrică este un tip de Format:Ill-wd .

În mod explicit, tensorul metric este o Format:Ill-wd pe orice Format:Ill-wd al lui Format:Math care variază într-o manieră lină (sau diferențiabilă) de la un punct la altul. Având în vedere doi vectori tangenți Format:Math și Format:Math într-un punct Format:Math din Format:Math, metrica poate fi evaluată în Format:Math și Format:Math pentru a da un număr real:

$g_x(u,v)=g_x(v,u)\in ℝ.$

Aceasta este o generalizare a produsului scalar din spațiul euclidian obișnuit. Spre deosebire de spațiul euclidian – unde produsul scalar este Format:Ill-wd – metrica este nedeterminată și dă fiecărui spațiu tangent structura de spațiu Minkowski.

Coordonate locale și reprezentări matriceale

Fizicienii lucrează, de obicei, în Format:Ill-wd (adică coordonate definite pe o anumită vecinătate locală din Format:Math). În coordonatele locale Format:Math (Unde Format:Math este un indice care rulează de la 0 la 3), metrica poate fi scrisă în formula

$g=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }\otimes d{x}^{\nu }.$

Factorii Format:Math sunt gradienți Format:Ill-wd ai câmpurilor de coordonate scalare Format:Math. Metrica este astfel o combinație liniară de Format:Ill-wd de gradienți 1-forme ai coordonatelor. Coeficienții Format:Math sunt un set de 16 funcții reale (întrucât tensorul Format:Math este un câmp tensorial, care este definit în toate punctele unei varietăți de spațiu-timp). Pentru ca metrica să fie simetrică, trebuie să avem

Format:Math

ceea ce dă 10 coeficienți independenți.

Dacă coordonatele locale sunt specificate sau înțelese din context, metrica poate fi scrisă ca matrice simetrică Format:Nowrap cu elementele Format:Math. Nedegenerarea lui Format:Math înseamnă că această matrice este nesingulară (adică are determinant nenul), în timp ce signatura lorentziană a lui Format:Math înseamnă că matricea are o valoare proprie negativă și trei pozitive. Fizicienii denumesc adesea această matrice sau coordonatele Format:Math însele ca metrică.

Cu cantitățile Format:Math considerate ca fiind componente ale unui 4-vector de deplasare infinitezimală a coordonatelor (a nu confunda cu 1-formele cu aceeași notație de mai sus), metrica determină pătratul invariant al unui element linie infinitezimal, adesea denumit interval. Intervalul este adesea notat cu

$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }.$

Intervalul Format:Mathoferă informații despre Format:Ill-wd. Cand Format:Math, intervalul este temporal și rădăcina pătrată a valorii absolute a lui Format:Math este un Format:Ill-wd. Doar intervalele temporale pot fi parcurse fizic de un obiect masiv. Când Format:Math, intervalul este luminos, și poate fi parcurs numai de lumină. Când Format:Math, intervalul este spațial și rădăcina pătrată a lui Format:Math acționează ca o Format:Ill-wd. Intervalele spațiale nu pot fi traversate, deoarece ele conectează evenimente care se află unul în afara Format:Ill-wd al celuilalt. Evenimentele pot fi legate cauzal numai dacă se află unul în conul luminos al altuia.

Componentele metricii depind de alegerea sistemului local de coordonate. Sub o schimbare de coordonate $x^{\mu }\to x^{\overline{\mu }}$, componentele metricii se transformă astfel:

$g_{\overline{\mu }\overline{\nu }}=\frac{\partial x^{\rho }}{\partial x^{\overline{\mu }}}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\overline{\nu }}}{g}_{\rho \sigma }={\mathrm{\Lambda }}^{\rho }{}_{\overline{\mu }}{\mathrm{\Lambda }}^{\sigma }{}_{\overline{\nu }}{g}_{\rho \sigma }.$

Exemple

Spațiu-timp plat

Cel mai simplu exemplu de varietate lorentziană este spațiul plat, care poate fi dat ca R⁴ cu coordonatele Format:Math și metrica

$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }.$

Aceste coordonate acoperă de fapt tot R⁴. Metrica spațiului plat (sau metrica Minkowski) este adesea notată cu simbolul η și este metrica folosită în relativitatea restrânsă. În coordonatele de mai sus, reprezentarea matriceală a lui η este

$\eta =\left(\begin{array}{cccc}-c^2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

(O convenție alternativă înlocuiește coordonata Format:Math cu Format:Math, și definește Format:Math ca în baza standard a spațiului Minkowski)

În coordonate sferice Format:Math, metrica spațiului plat ia forma

$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2$

unde

$d{\mathrm{\Omega }}^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$

este metrica standard pe 2-sferă.

Metricile găurilor negre

Metrica Schwarzschild descrie o gaură neagră fără sarcină electrică și care nu se rotește. Există, de asemenea, metrici care descriu găuri negre cu sarcină electrică și în rotație.

Metrica Schwarzschild

Pe lângă metrica spațiului plat, cea mai importantă metrică din relativitatea generală este metrica Schwarzschild care poate fi dată într-un set de coordonate locale prin

$d{s}^2=-(1-\frac{2GM}{r{c}^2})c^{2}d{t}^2+{(1-\frac{2GM}{r{c}^2})}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2$

unde, din nou, $d{\mathrm{\Omega }}^2$este metrica standard pe 2-sferă. Aici, Format:Math este constanta gravitațională și Format:Math este o constantă cu dimensiune de masă. Metrica Schwarzschild se apropie de metrica Minkowski atunci când Format:Math se apropie de zero (cu excepția originii, unde nu este definită). În mod similar, când Format:Math tinde la infinit, metrica Schwarzschild se apropie de metrica Minkowski.

Cu coordonatele

$(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,r,\theta ,\phi ),$

se poate scrie metrica drept

$g_{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}-(1-\frac{2GM}{r{c}^2})& 0& 0& 0\\ 0& {(1-\frac{2GM}{r{c}^2})}^{-1}& 0& 0\\ 0& 0& r^2& 0\\ 0& 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right].$

Mai multe sisteme de coordonate au fost concepute pentru metrica Schwarzschild: Format:Ill-wd, Format:Ill-wd, Format:Ill-wd și Format:Ill-wd.

Găuri negre în rotație și cu sarcină electrică

Soluția Schwarzschild presupune un obiect care nu se rotește în spațiu și nu are sarcină electrică. Pentru a ține cont de sarcină, metrica trebuie să satisfacă ecuațiile de câmp Einstein ca înainte, dar și ecuațiile lui Maxwell într-un spațiu curb. O masă cu sarcină electrică și ne-rotativă este descrisă de metrica Reissner-Nordström.

Găurile negre rotative sunt descrise prin Format:Ill-wd și metrica Format:Ill-wd .  

Alte metrici

Alte metrici notabile sunt:

• metrica Alcubierre,
• metricile Format:Ill-wd / Format:Ill-wd,
• Format:Ill-wd,
• Format:Ill-wd,
• Format:Ill-wd (cunoscută și ca Format:Ill-wd),
• Format:Ill-wd,
• Format:Ill-wd,
• Format:Ill-wd,
• Format:Ill-wd.

Unele dintre acestea sunt fără orizontul de evenimente sau pot fi fără singularitate gravitațională.

Volumul

Metrica g induce o Format:Ill-wd naturală (până la un semn), care poate fi utilizată pentru a se integra într-o Format:Ill-wd a unei varietăți. Având coordonatele locale Format:Math pentru varietate, forma de volum poate fi scrisă

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_g=\pm \sqrt{|\det [g_{\mu \nu }]|}d{x}^0\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3$

unde $\det [g_{\mu \nu }]$ este determinantul matricei componentelor tensorului metric pentru sistemul de coordonate dat.

Curbura

Metrica $g$ determină complet curbura spațiu-timpului. Conform Format:Ill-wd, există o Format:Ill-wd unică ∇ pe orice Format:Ill-wd compatibilă cu metrica și fără Format:Ill-wd. Această conexiune se numește Format:Ill-wd. Format:Ill-wd ale acestei conexiuni sunt date în termeni de derivate parțiale ale metricii în coordonate locale $x^{\mu }$ prin formula

${\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{g}^{\lambda \rho }(\frac{\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}+\frac{\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}-\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }})$.

Curbura spațiului este atunci dată de tensorul de curbură Riemann care este definit în termenii legăturii Levi-Civita ∇. În coordonatele locale acest tensor este dat de:

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \sigma }+{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\mu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-{\mathrm{\Gamma }}^{\rho }{}_{\nu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.$

Curbura este atunci exprimată doar în termeni de metrică Format:Math și derivatele sale.

Ecuațiile lui Einstein

Una dintre ideile de bază ale relativității generale este că metrica (și geometria asociată spațiului) este determinată de conținutul de materie și energie al spațiului. Ecuațiile de câmp ale lui Einstein:

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

unde tensorul de curbură Ricci

$R_{\nu \rho }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }$

și curbura scalară

$R\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{g}^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$

pun metrica (și tensorii de curbură asociați) în legătură cu tensorul energiei-impuls Format:Math. Această ecuație tensorială este o mulțime complexă de ecuații cu derivate parțiale neliniare pentru componentele metricii. Format:Ill-wd ale ecuațiilor de câmp ale lui Einstein sunt foarte greu de găsit.