Matrice nulă

În algebra liniară, o matrice nulă sau matrice zero este o matrice în care fiecare element are valoarea 0. Este elementul neutru pentru operația de adunare în grupul aditiv al matricilor $m\times n$, și de obicei este notată cu simbolul $O$ sau $0$ urmat de indicele corespunzătoare dimensiunii matricei, după cum consideră de cuviință contextul. Exemple de astfel de matrici:

$0_{1,1}=\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right],0_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],0_{2,3}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

Proprietăți

Mulțimea matricelor $m\times n$ cu elemente din inelul Format:Mvar formează un inel $K_{m,n}$. Matricea nulă $0_{K_{m,n}}$ în $K_{m,n}$ este matricea cu toate elementele egale cu $0_K$, unde $0_K$ este elementul neutru aditiv în K.

$0_{K_{m,n}}={\left[\begin{array}{cccc}{0}_K& 0_K& \cdots & 0_K\\ 0_K& 0_K& \cdots & 0_K\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0_K& 0_K& \cdots & 0_K\end{array}\right]}_{m\times n}$

Matricea nulă este elementul neutru aditiv în $K_{m,n}$. Adică pentru orice $A\in K_{m,n}$ sunt satisfăcute relațiile

$0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.$

Există câte o singură matrice nulă în orice dimensiune Format:Mvar (cu elemente din inelul dat), așa că atunci când contextul este clar, expresia „matricea nulă” este neambiguă. În general, elementul zero al unui inel este unic și este de obicei notat cu 0 fără ca vreun indice să precizeze inelul de care aparține. Prin urmare, exemplele de mai sus reprezintă matrici nule peste orice inel.

Matricea nulă reprezintă, de asemenea, transformarea liniară care trimite toți vectorii euclidieni în Format:Ill-wd. Este o matrice idempotentă, adică dacă este înmulțită cu ea însăși, rezultatul este ea însăși.

Matricea nulă este singura matrice al cărei rang este 0.

Apariții

Problema matricei mortale este o problemă în care fiind dată o mulțime finită de matrici Format:Mvar cu elemente întregi, se cere să se detemine dacă acestea pot fi înmulțite într-o anumită ordine, eventual cu repetarea unora, pentru a obține ca rezultat matricea nulă. Se știe că aceasta este o Format:Ill-wd pentru o mulțime de șase sau mai multe matrici 3 × 3 sau o mulțime de două matrici de 15 × 15.

În regresia prin Format:Ill-wd, dacă există o corespondență perfectă a datelor, matricea reziduurilor este matricea nulă.

Vezi și

• Matrice unitate, elementul neutru multiplicativ
• Matrice cu toate elementele 1