Închidere algebrică
În matematică, în special în algebra abstractă, o închidere algebrică a unui corp Format:Mvar este o extindere algebrică a lui Format:Mvar care este închis algebric. Este una dintre multele închideri din matematică.
Folosind lema Zorn[1][2][3] sau mai slaba ultrafiltrare din teoria mulțimilor,[4][5] se poate arăta că fiecare corp are o închidere algebrică și că închiderea algebrică a unui corp Format:Mvar este unică până la un izomorfism care fixează fiecare membru al Format:Mvar. Datorită acestei unicități esențiale, se vorbește adesea despre „închiderea algebrică a lui Format:Mvar” în loc de „o închidere algebrică a lui Format:Mvar”.
Închiderea algebrică a corpului Format:Mvar poate fi considerată a fi cea mai mare extindere algebrică a lui Format:Mvar. Pentru a vedea asta este de reținut că dacă Format:Mvar este orice extindere algebrică a lui Format:Mvar, atunci închiderea algebrică a lui Format:Mvar este, de asemenea, o închidere algebrică a lui Format:Mvar, și așa Format:Mvar este cuprins în închiderea algebrică a lui Format:Mvar. Închiderea algebrică a lui Format:Mvar este, de asemenea, cel mai mic câmp închis algebric care conține Format:Mvar, deoarece dacă Format:Mvar este un corp închis algebric care conține Format:Mvar, atunci elementele din Format:Mvar care sunt algebrice pe Format:Mvar formează o închidere algebrică a lui Format:Mvar.
Închiderea algebrică a unui corp Format:Mvar are aceeași cardinalitate ca și Format:Mvar dacă Format:Mvar este infinit, un infinit numărabil dacă Format:Mvar este finit.[3]
Exemple
- Teorema fundamentală a algebrei afirmă că închiderea algebrică a corpului numerelor reale este corpul numerelor complexe.
- Închiderea algebrică a corpului numerelor raționale este corpul numerelor algebrice.
- Există multe corpuri închise algebric numărabile în numerele complexe și care conțin strict corpul numerelor algebrice; acestea sunt închiderile algebrice ale extinderilor transcendente ale numerelor raționale, de exemplu închiderea algebrică a
- Închiderea algebrică a corpului finit al puterilor de ordinul Format:Mvar ale numerelor prime este un corp infinit numărabil care conține o copie a corpului puterilor de ordinul Format:Mvar pentru fiecare număr întreg pozitiv Format:Mvar (și este de fapt reuniunea acestor copii).[6]
Note
- ↑ Format:En icon McCarthy (1991) p.21
- ↑ Format:En icon M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11–12.
- ↑ 3,0 3,1 Format:En icon Kaplansky (1972) pp.74-76
- ↑ Format:En icon Format:Citation
- ↑ Format:En icon Mathoverflow discussion
- ↑ Format:En icon Format:Citation.