Transformarea lui Abel

În matematică, transformarea lui Abel este o transformare de tipul:

$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=a_N{B}_N-a_1{B}_0-\sum _{k=1}^n{B}_k(a_{k+1-a_k}),$

unde $a_k,b_k$ sunt dați, $B_0$ ales arbitrar iar:

$B_k=B_{k-1}++b_k=B_0+b_1+b_2+\cdots +b_k,k=1,2,\cdots ,N.$

Transformarea lui Abel este analogia în matematica discretă a integrării prin părți.

Dacă $a_N\to 0$ și orice șir $\{B_k\}$ este mărginit, atunci transformarea lui Abel poate fi aplicată seriei:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k-a_{k+1})B_k-a_1{B}_0.$

Poartă numele matematicianului Niels Henrik Abel.

Transformarea lui Abel este utilizată pentru a demonstra mai multe criterii de convergență ale seriilor de numere (cum ar fi criteriul lui Abel). Rezultatul transformării este o serie cu aceeași sumă, dar mai rapid convergentă.

Transformarea lui Abel mai este utilizată și la realizarea unor estimări asupra ratei de convergență a unei serii (vezi: Inegalitatea lui Abel).