Integrare prin părți

De la testwiki
Sari la navigare Sari la căutare

Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.

Teoremă

Dacă funcțiile f,g:[a,b]→ℝ sunt derivabile și au derivate continue pe [a,b] atunci are loc egalitatea:

∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx.

unde simbolul ∫f(x)g′(x)dx reprezintă mulțimea primitivelor funcției fg′, iar ∫f′(x)g(x)dx reprezintă mulțimea primitivelor funcției f′g.


Demonstrație.

Funcția h=fg are derivată continuă pe [a,b] și

h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

Fie acum φ∈∫f(x)g′(x)dx și diferența ψ=φ−fg. Prin derivare se obține egalitatea:

ψ′=φ′−f′g−fg′=−f′g

care arată că ψ∈−∫f′g.

Astfel am obținut că funcția φ=fg+ψ și ψ∈−∫f′g. Altfel spus, φ∈fg−∫f′g. Analog se arată că oricare ar fi ψ∈−∫f′(x)g(x)dx, funcția φ=fg+ψ∈∫f(x)g′(x)dx.


Consecință.

Dacă funcțiile f,g:[a,b]→ℝ au derivate continue pe [a,b], atunci are loc egalitatea:

∫abf(x)g′(x)dx=f(b)g(b)−f(a)g(a)−∫abf′(x)g(x)dx

Exemple

Exemplul 1

Să se calculeze ∫xcos⁡xdx.

Mai întâi alegem funcțiile f și g:

  • f(x)=x
  • g(x)=cos⁡x.

Calculăm derivata lui f: f′(x)=x′=1.

Integrăm pe g: ∫g(x)dx=∫cos⁡xdx=sin⁡x.

Deci ∫xcos⁡xdx=xsin⁡x−∫1sin⁡xdx=xsin⁡x+cos⁡x+𝒞.

Exemplul 2

Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:

In=∫cosnxdx.

Integrând prin părți rezultă:

In=cosn−1x⋅sin⁡x+(n−1)In−2−(n−1)In

De aici avem:

nIn=cosn−1x⋅sin⁡x+(n−1)In−2

Această formulă împreună cu egalitățile I0=x și I1=sin⁡x conduc la evaluarea primitivei In, pentru n∈ℕ.

Vezi și

Legături externe

Format:Portal

Adus de la „https://ro.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Integrare_prin_părți&oldid=1560”