Minor (algebră liniară)

Dezvoltarea lui Laplace a unei Matrice pe Coloane

În algebra liniară, conceptele de minor și complement algebric sunt necesare dezvoltării unui determinant cu ajutorul teoremei lui Laplace.

Fie $A = (a_{i j})$ o matrice de ordinul n. Prin minorul complementar al elementului $a_{i j}$ se înțelege determinantul de ordinul n-1 și notat $D_{j i} .$ Complementul algebric al lui $a_{i j}$ este numărul $α_{i j} = (- 1)^{i + j} D_{j i} .$

Există relațiile:

\sum_{k = 1}^{n} a_{k i} \cdot α_{k j} = D δ_{i j}, \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} \cdot α_{j k} = D δ_{i j}, δ_{i j} = {\begin{matrix} 0, & i \neq j, \\ 1, & i = j . \end{matrix}

Pentru $i = j$ se obține:

\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} \cdot α_{k i} = D, \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} \cdot α_{i k}

(formule de dezvoltare a determinantului după elementele unei linii sau unei coloane)

Fie acum un $r < n .$ Se numește minor de ordinul r în $𝐃$ un determinant $M,$ format cu r linii și r coloane din $𝐃 .$ Se numește minor complementar minorului $M$ de ordin r, minorul $N$ obținut din $𝐃$ prin suprimarea celor r linii și r coloane ale lui $M .$ Complementul algebric al minorului $M$ este numărul $M^{'} = (- 1)^{s (M)} \cdot N, s (M)$ fiind suma indicilor liniilor și coloanelor care determină $M .$

Exemplu

Pentru determinantul $D = | \begin{matrix} 2 & 3 & - 1 \\ - 6 & - 5 & 0 \\ 2 & 7 & 4 \end{matrix} |,$ complementele algebrice ai elementelor acestuia sunt:

α_{11} = - 5 \cdot 4 = - 20, α_{12} = - (- 6) \cdot 4 = 24, α_{13} = - 6 \cdot 7 - [2 \cdot (- 5)] = - 32,

α_{21} = - (3 \cdot 4 + 7 \cdot 1) = - 21, α_{22} = 8 + 2 = 10, α_{23} = - (14 - 6) = - 8,

α_{31} = - 5, α_{32} = 6, α_{33} = - 2 \cdot 5 + 6 \cdot 3 = 8 .

Minor (algebră liniară)

Exemplu

Meniu de navigare

Căutare