Teorema lui Thales (cerc)

Teorema lui Thales (cerc) : dacă AC este diametrul, atunci unghiul B este unghi drept. Unghiurile α sunt subliniate cu roz, iar β cu verde

Teorema lui Thales pentru puncte de pe un cerc afirmă că dacă oricare trei puncte $A$, $B$ și $C$ sunt puncte situate pe un cerc (conciclice) pentru care coarda $\overline{AC}$ este diametru, atunci unghiul $\mathrm{\angle }ABC$ format de punctul B cu punctele diametral opuse este un unghi drept.

Demonstrație

Fie $O$ centrul cercului. Întrucât $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$, triunghiurile $\mathrm{\Delta }OBC$ și $\mathrm{\Delta }OAB$ sunt isoscele existând deci perechi de unghiuri congruente
$\mathrm{\angle }OAB=\mathrm{\angle }OBA=:\alpha$  și  $\mathrm{\angle }OBC=\mathrm{\angle }OCB=:\beta$.

Atunci unghiul B se poate scrie ca sumă
$\hat{B}=\alpha +\beta =\hat{A}+\hat{C}$

Dublul măsurii unghiurilor egale ale oricăror triunghiuri isoscele formate de raza OB e egal cu unghiurile externe de pe diametrul AC, din suma unghiurilor oricărui triunghi. Unghiurile formate de o parte a diametrului AC de raza OB sunt suplementare, suma lor constituind unghiul alungit, de măsură două unghiuri drepte.

Se obține că unghiurile A și C sunt complementare, așadar unghiul B este suma a două unghiuri complementare, așadar un unghi drept.

Teorema reciprocă

Locul geometric al punctelor din are A și C se văd sub același unghi drept este un cerc cu diametrul AC

Teorema împreună cu teorema reciprocă ei pot fi comasate într-un singur enunț:

Vezi și

• Teorema lui Thales
• Teorema Sylvester (geometrie)