Bază ortonormată

În algebra liniară, o bază ortonormată a unui spațiu euclidian V de dimensiune n peste $ℝ$ este o bază algebrică $B=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ cu toți vectorii având norma unitară și oricare doi vectori distincți ortogonali:

$<e_i,e_j>=\{\begin{array}{c}0,i\ne j\\ 1,i=j\end{array}$

Există următoarea:

Teoremă: În orice spațiu euclidian există o bază ortonormată.

Avantajele utilizării bazelor ortonormate

• Calculul componentelor unui vector $𝐱\in V$ într-o bază ortonormată se face simplu, cu ajutorul produsului scalar și nu prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
• Într-un spațiu euclidian n-dimensional dotat cu o bază ortonormată, formulele de calcul pentru produsul scalar dintre doi vectori și norma unui vector au aceeași formă cu cele din ${ℝ}^n.$
• Matricea de trecere între două baze ortonormate este o matrice ortogonală, adică o matrice a cărei inversă este egală cu transpusa sa.

Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste $ℝ$ și $B=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ o bază ortonormată a sa. Atunci dacă vectorul $x\in V$ are în baza ortonormată B scrierea

$𝐱={\alpha }_1{𝐞}_1+{\alpha }_2{𝐞}_2+\cdots +{\alpha }_n{𝐞}_n,$

atunci componentele sale în această bază sunt date de formulele:

${\alpha }_j=<𝐱,{𝐞}_j>,\mathrm{\forall }j=1,2,\cdots ,n.$

Prin urmare, orice vector $x\in V$ are în baza ortonormată $B=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ scrierea:

$𝐱=<𝐱,{𝐞}_1>{𝐞}_1+<𝐱,{𝐞}_2>{𝐞}_2+\cdots +<𝐱,{𝐞}_n>{𝐞}_n.$

Matricea de trecere dintre două baze ortonormate

Fie C o matrice cu n linii și n coloane cu elemente reale.

Definiție. O matrice $C\in {𝕄}_{n,n}(ℝ)$ se numește matrice ortogonală dacă:

$C\cdot C^T=C^T\cdot C=I_n.$

Din definiție rezultă că o matrice ortogonală C este inversabilă și $C^{-1}=C^T.$

Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste $ℝ,B=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ o bază ortonormată a sa și $B^{\prime }=\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ o altă bază a lui V, iar C matricea de trecere de la baza $B$ la baza $B^{\prime }.$ Următoarele afirmații sunt echivalente:

1. Baza $B^{\prime }$ este ortonormată.
2. Matricea C este o matrice ortogonală.

Vezi și

• Subspațiu ortogonal