Spațiu măsurabil

Format:DistingeÎn matematică, un spațiu măsurabil sau spațiu Borel este un obiect de bază în teoria măsurii. Este format dintr-o mulțime și o σ-algebră, care definește submulțimile ce vor fi măsurate.

Captează și generalizează noțiuni intuitive precum lungimea, aria și volumul cu o mulțime $X$ de „puncte” în spațiu, însă regiunile spațiului sunt elementele σ-algebrei, deoarece măsurile intuitive nu sunt de obicei definite pentru puncte. Algebra surprinde, de asemenea, relațiile care ar putea fi așteptate de la regiuni: că o regiune poate fi definită ca o intersecție a altor regiuni, o reuniune a altor regiuni, sau spațiul cu excepția unei alte regiuni.

Definiție

Se consideră o mulțime $X$ și o σ-algebră $ℱ$ pe $X.$ Atunci perechea $(X,ℱ)$ se numește spațiu măsurabil.

De remarcat că, spre deosebire de un spațiu cu măsură, nu este necesară nicio măsură pentru un spațiu măsurabil.

Exemplu

Fie mulțimea $$X=\{1,2,3\}.$$ O posibilă $\sigma$-algebră ar fi: $${ℱ}_1=\{X,\varnothing \}.$$ Atunci $(X,{ℱ}_1)$ este un spațiu măsurabil. O altă $\sigma$-algebră posibilă ar fi mulțimea părților lui $X$: $${ℱ}_2=𝒫(X).$$ Cu aceasta, un al doilea spațiu măsurabil pe mulțimea $X$ este dat de $(X,{ℱ}_2).$

Spații măsurabile uzuale

Dacă $X$ este mulțime finită sau infinit numărabilă, $\sigma$-algebra este cel mai adesea mulțimea părților lui $X,$ deci $ℱ=𝒫(X).$ Aceasta conduce la spațiul măsurabil $(X,𝒫(X)).$

Dacă $X$ este un spațiu topologic, $\sigma$-algebra este cel mai adesea $\sigma$-algebra Borel $ℬ,$ deci $ℱ=ℬ(X).$ Aceasta conduce la spațiul măsurabil $(X,ℬ(X))$ care este comun pentru toate spațiile topologice, cum ar fi numerele reale $ℝ.$

Ambiguitate cu spațiile Borel

Termenul de spațiu Borel este folosit pentru diferite tipuri de spații măsurabile. Se poate referi la

• orice spațiu măsurabil, deci este un sinonim pentru un spațiu măsurabil așa cum este definit mai sus
• un spațiu măsurabil care este Borel izomorf cu o submulțime măsurabilă a numerelor reale (din nou cu $\sigma$-algebra Borel)

Vezi și

• Mulțime Borel – Clasă de mulțimi matematice
• Funcție măsurabilă – Funcție pentru care preimaginea unei mulțimi măsurabile este măsurabilă
• Măsură – Generalizarea masei, lungimii, ariei și volumului
• Spațiu Borel standard – Construcție matematică în topologie
• Categorie de spații măsurabile