Spațiu Lp

În matematică, mai precis în analiză funcțională, spațiile Format:Math — numite și spații Lebesgue — sunt spații vectoriale normațe de funcții. Elementele acestor spații sunt clase de echivalență de funcții Format:Mvar-integrabile, iar norma, numită [[Normă (matematică)#p-norma|norma Format:Mvar]], se definește analog cu norma Format:Mvar din ${ℝ}^n$.

Spațiile Format:Math, în special spațiul Hilbert Format:Math, joacă un rol esențial în mai multe domenii ale matematicii (studiul ecuațiilor diferențiale, teoria probabilităților, etc) și în aplicațiile lor (fizică, inginerie, economie, procesarea semnalelor, etc).

Spațiile $L^p(\mathrm{\Omega })$ și $L_{loc}^p(\mathrm{\Omega })$, $(1\le p\le \mathrm{\infty })$

Fie $\mathrm{\Omega }$ o mulțime deschisă din ${ℝ}^n$ și $𝕂$ un corp. Notăm cu $\mathrm{\Sigma }=\mathrm{\Sigma }(\mathrm{\Omega })$ tribul borelian al părților boreliene din $\mathrm{\Omega }$, iar $dx$ este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din ${ℝ}^n$ la $\mathrm{\Omega }$, atunci prin definiție $L^p(\mathrm{\Omega })$ este $L^p(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },dx)$. Vom considera pe spațiul $L^p(\mathrm{\Omega })$ norma

$||f|{|}_p={(\int |f(x){|}^{p}dx)}^{1/p},$

care induce metrica $d(f,g)={(\int |f(x)-g(x){|}^{p}dx)}^{1/p}$ și față de care $L^p(\mathrm{\Omega })$ este un spațiu complet. Prin $L_{loc}^p(\mathrm{\Omega })$ vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în $𝕂$, care sunt p-sumabile pe orice compact din $\mathrm{\Omega }$. Elementele din $L_{loc}^p(\mathrm{\Omega })$ le vom numi funcții local p-sumabile. Rezultă imediat că $L_{loc}^p(\mathrm{\Omega })$ este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor. $L_{loc}^p(\mathrm{\Omega })$ devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme $\{s_K^p{\}}_{K\subset \mathrm{\Omega }}$, unde K parcurge compactele din $\mathrm{\Omega }$ și

$s_K^p(f)={(\underset{K}{\int }|f(x){|}^{p}dx)}^{1/p},f\in L^p(\mathrm{\Omega }).$

Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune ${\{K_m\}}_m$ cu compacte a lui $\mathrm{\Omega }$, sistemul $\{s_{K_m}^p{\}}_{m\in \mathbb{N}}$ de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe $L_{loc}^p(\mathrm{\Omega })$. De aici rezultă că $L_{loc}^p(\mathrm{\Omega })$ este metrizabil. Dacă $f\in L^p(\mathrm{\Omega })$ și $K$ este un compact oarecare în $\mathrm{\Omega }$, din relația

$\underset{K}{\int }|f(x)|dx\le {(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(x){|}^{p}dx)}^{1/p}{\left(\underset{K}{\int }1dx\right)}^{1/p^{\prime }},(\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1)$

rezultă că $L^p(\mathrm{\Omega })$ pentru orice $n\ge 1$.
Punem în evidență organizarea lui $L^1=L^1({ℝ}^n)$ ca algebră Banach.

TEOREMA 1. Fie $f,g\in L^1$. Atunci pentru orice $y\in {ℝ}^n$, funcția $x\to f(x)g(y-x)$ este în $L^1$. Convoluția $f*g$ definită prin:

$(f*g)(y)=\int f(x)g(y-x)dx(1)$

este de asemenea o funcție din $L^1$ și în plus

$||f*g|{|}_1\le ||f|{|}_1*||g|{|}_1.(2)$

Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire, $L^1$ devine o algebră Banach.
Demonstrație. Pentru funcția măsurabilă pozitivă $|f(x)||g(y-x)|$, integrala iterată

$\int (\int |f(x)||g(y-x)|dy)dx,(3)$

este evident egală cu $||f|{|}_1\cdot ||g|{|}_1$. Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular $|f(x)||g(y-x)|$ este sumabilă ca funcție de $x$, integrala sa este măsurabilă ca funcție de $y$ și are integrala finită. Rezultă că $f(x)g(y-x)$ este absolut sumabilă și

$\int |\int f(x)g(y-x)dx|dy\le \int (\int |f(x)||g(y-x)|dx)dy=||f|{|}_1\cdot ||g|{|}_1,$

ceea ce înseamnă $||f*g|{|}_1\le ||f|{|}_1||g|{|}_1.$ Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor

$(f*(g*h))(x)=((h*g)*f)(x)=\int (h*g)(y)f(x-y)dy$

$=\int (\int h(z)g(y-z)dz)f(x-y)dy=\int (\int g(y-z)f(x-y)dy)h(z)dz$

$=\int (\int f(x-y)g(x-z-(x-y))dy)h(z)dz=\int (f*g)(x-z)h(z)dz$

$=((f*g)*h)(x).(4)$

În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare. Penultima egalitate s-a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară: $x-y=u.$ Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integralei (1) prin raport cu $f$, cât și prin raport cu $g.$ Cu aceasta $L^1$ devine algebră Banach.
TEOREMA 2. Fie $f\in L^1$ și $g\in L^p({ℝ}^n),(1\le p<\mathrm{\infty }).$ Atunci $(f*g)(y)$ este definită printr-o integrală de tipul (1) pentru aproape orice $y\in {ℝ}^n$, $f*g\in L^p$ și

$||f*g|{|}_p\le ||f|{|}_1\cdot ||g|{|}_p(5).$

Demonstrație. Pentru $p=1$ rezultatul este conținut în teorema precedentă.
Fie deci $p>1$ și $p^{\prime }$ ca de obicei conjugatul lui $p$. Din inegalitatea lui Hölder avem:

$\int |f(x){|}^{1/p}|g(y-x)||f(x){|}^{1/p^{\prime }}dx\le {(\int |f(x)||g(y-x){|}^{p}dx)}^{1/p^{\prime }},$

de unde, cum $|g{|}^p\in L^1,$ cu teorema precendentă deducem că $f*g$ este definită și finită pentru orice $y\in {ℝ}^n$ și de asemenea rezultă că

$|(f*g)(y){|}^p\le (\int |f(x)||g(y-x){|}^{p}dx)||f|{|}_1^{p/p^{\prime }}.$

Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem

$||f*g|{|}_p^p\le ||g_x|{|}_p^p\cdot ||f|{|}_1||f|{|}_1^{p/p^{\prime }},$

de unde cu $||g|{|}_p=||g_x|{|}_p,$ obținem (5).
Cu TEOREMA 2 semnalăm că aplicațiile $f\mapsto f*g$ și $g\mapsto f*g$ sunt liniare și continue de la $L^1,$ respectiv $L^p$ la $L^p$. În acest fel cu convoluția ca operație externă, $L^p$ se organizează ca modul Banach peste algebra Banach $L^1.$

Note

D. GAȘPAR, P. GAȘPAR, Analiză funcțională, Ed.de Vest, Timișoara, 2009