Număr piramidal pătratic

Reprezentare figurativă (geometrică) a numărului pătrat piramidal 30 = 1 + 4 + 9 + 16

Un număr pătratic piramidal, pătrat perfect piramidal sau număr pătrat piramidal este un număr figurativ care reprezintă numărul de sfere stivuite într-o piramidă cu o bază pătrată. Numerele pătrat piramidale rezolvă, de asemenea, problema numărului de pătrate dintr-o grilă n × n. Numerele piramidale (cu n laturi triunghiulare) sunt adesea confundate cu numerele pătrat piramidale (cu 4 laturi).

Exemple

Primele numere pătrate piramidale sunt:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819...

Aceste numere pot fi exprimate prin formula:

$P_n=\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}.$

Acesta este un caz special al formulei lui Faulhaber și poate fi dovedit printr-o inducție matematică. O formulă echivalentă este dată în manuscrisul lui Leonardo Fibonacci, Liber Abaci (1202, ch. II.12).

În matematica modernă, numerele figurate sunt formalizate prin polinoame Ehrhart:

Format:Math.

Funcție generatoare exponențială

Funcția generatoare pentru numerele piramidale este:

$\mathrm{𝟏}x+\mathrm{𝟓}{x}^2+\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟒}{x}^3+\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟎}{x}^4+\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟓}{x}^5+\dots =\frac{x(x+1)}{(x-1{)}^4}.$

Relația cu alte numere

Numerele piramidale pătrate pot fi, de asemenea, exprimate ca suma coeficienților binomiali:

$P_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3}).$

Coeficienții binomiali care apar în această expresie prezentată sunt numere tetraedrice. Această formulă exprimă numerele piramidale ca suma a două numere, la fel ca orice număr pătratic este suma a două numere triunghiulare consecutive. În această sumă, unul dintre cele două numere tetraedrice reprezintă numărul de sfere din piramida pliată care sunt situate deasupra sau pe o parte a diagonalei bazei pătrate a piramidei; iar al doilea - reprezintă numărul de sfere situate pe cealaltă parte a diagonalei. Numerele piramidale sunt, de asemenea, legate de numerele tetraedrice după cum urmează:Format:Sfn:

$P_n=\frac{1}{4}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{3}).$

Suma a două numere piramidale consecutive este un număr octaedric.

Note

• Format:Cite book
• Format:Cite book
• Format:Cite journal
• Format:Cite book
• Format:Cite book

Vezi și

• Listă de numere
• Număr figurativ
• Număr hexagonal