Matricea lui Toeplitz

Matricea lui Toeplitz (numită astfel după Otto Toeplitz) este, în algebra liniară, o matrice cu orice diagonală, ce coboară de la stânga la dreapta, constantă.

Exemplu

$\left[\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& k\\ f& a& b& c& d\\ g& f& a& b& c\\ h& g& f& a& b\\ j& h& g& f& a\end{array}\right]$

Definiție

În caz general, o matrice Toeplitz de tip $n\times n$ are forma:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}\cdots & \cdots & a_{-n+1}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \ddots & & ⋮\\ a_2& a_1& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1}& a_{-2}\\ ⋮& & \ddots & a_1& a_0& a_{-1}\\ a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_2& a_1& a_0\end{array}\right]$

Proprietăți

În general, o ecuație matricială:

$Ax=b$

este echivalentă cu un sistem liniar de ecuații.

Să considerăm un astfel de sistem corespunzător unei matrice de tip Toeplitz. Avem:

$A{U}_n-U_{m}A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{-1}& \cdots & a_{-n+1}& 0\\ ⋮& & & -a_{-n+1}\\ ⋮& & & ⋮\\ 0& \cdots & & -a_{-n+1}\end{array}\right]$

unde $U_k$ este operatorul care mută fiecare rând al matricei cu k rânduri mai jos.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Vezi și

• Matricea lui Cauchy
• Matrice circulantă

Legături externe

• Format:En icon Matricea lui Toeplitz și matricele circulante