Matricea lui Cauchy

Matricea lui Cauchy este o matrice A de tip $m\times n$, cu elementele de forma:

$a_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j};x_i-y_j\ne 0,1\le i\le m,1\le j\le n$

$A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{x_1-y_1}& \frac{1}{x_1-y_2}& \dots & \frac{1}{x_1-y_n}\\ \frac{1}{x_2-y_1}& \frac{1}{x_2-y_2}& \dots & \frac{1}{x_2-y_n}\\ \dots \dots \dots \\ \frac{1}{x_m-y_1}& \frac{1}{x_m-y_2}& \dots & \frac{1}{x_m-y_n}\end{array}\right]$

Determinantul lui Cauchy

Pentru cazul particular $m=n$, determinantul matricii este:

$\det 𝐀=\frac{\prod _{i=2}^n\prod _{j=1}^{i-1}(x_i-y_j)(y_j-y_i)}{\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^n(x_i-y_j)}$

Proprietăți

• Determinantul lui Cauchy este nenul și astfel orice matrice pătrată de tip Cauchy este inversabilă. Inversa este A^-1=B = [b_ij] dată de:

$b_{ij}=(x_j-y_i)A_j(y_i)B_i(x_j)$

unde A_i(x) și B_i(x) sunt polinoamele lui Lagrange pentru $(x_i)$ , respectiv $y_j$.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• A. Gerasoulis - A Fast Algorithm for the Multiplication of Generalized Hilbert Matrices with Vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, pp. 179-188

Vezi și

• Matricea lui Toeplitz
• Matrice circulantă

Legături externe

{{Portal|Matematică))

• Format:En icon Matricea lui Cauchy la PlanetMath Format:Webarchive