Lema de acoperire a lui Vitali

Lema de acoperire a lui Vitali reprezintă un rezultat aflat la interferența dintre teoria combinatorică și teoria calcului integral și care este utilizată în teoria măsurii și în cea a spațiilor euclidiene. Este atribuită matematicianului italian Giuseppe Vitali.

Definiția acoperirii Vitali

Fie $(X,d)$ un spațiu metric, $ℬ$ tribul borelienelor lui $X$ și $\mu :ℬ\to {\overline{ℝ}}_{\mathbb{+}}$ o măsură numărabil aditivă cu proprietatea că $\mu (A)<\mathrm{\infty }$ pentru orice bilă închisă $A\subset X.$ Fie $A\subset X$ o mulțime și $ℱ$ un sistem de mulțimi închise și mărginite ale lui $X.$ Se spune că $ℱ$ este o acoperire Vitali pentru $A$ sau că $A$ este acoperită în sensul lui Vitali de $ℱ$ dacă fiecare mulțime din $ℱ$ are măsură strict pozitivă și, în plus, există un $a>0$ și un $b>2$ astfel încât pentru orice $x\in A$ și orice $\epsilon >0$ se poate găsi $F\in ℱ$ cu proprietățile:

• $x\in F;$
• $\mu (F)<\epsilon ;$
• $\mu (B(F,b\delta (F)))/\mu (F)\le a,$ unde $\delta (F)$ este diametrul lui $F$ iar $B(F,\delta (F))$ bila deschisă de centru $F$ și rază $\delta (F)$ adică $B(F,\delta (F))=\{x\in X|d(x,F)<\delta (F)\}.$

Teorema de acoperire a lui Vitali

Dacă $(X,d)$ este un spațiu metric compact și $ℱ$ o acoperire Vitali pentru o mulțime $A\subset X,$ atunci există o parte finită sau un șir $\{F_n{\}}_n$ de elemente din $ℱ,$ mutual disjuncte, astfel încât mulțimea $A\setminus \left(\bigcup _n{F}_n\right)$ este $\mu -$neglijabilă.

Se consideră acum cazul $X=ℝ.$ Fie $\lambda$ măsura Lebesgue în $ℝ$ și $A\subset ℝ$ o mulțime mărginită. Se spune că o familie de intervale $ℐ$ nedegenerate și mărginite este o acoperire Vitali pentru $A$ dacă pentru orice $x\in A$ și orice $\epsilon >0$ există un interval $I\in ℐ$ cu $x\in I$ și $\lambda (I)<\epsilon .$ Teorema de acoperire Vitali susține că dacă $ℐ$ este o acoperire Vitali pentru $A\subset ℝ,$ atunci există o parte finită sau un șir $\{I_n{\}}_n$ de elemente din $ℐ,$ mutual disjuncte, astfel încât mulțimea $E\setminus \left(\bigcup _n{I}_n\right)$ este neglijabilă.