Inegalitatea Hölder

În analiza matematică, inegalitatea lui Hölder, care poartă numele matematicianului german Otto Hölder, reprezintă o relație fundamentală în cadrul spațiilor spațiilor L^p.

Fie S un spațiu măsurabil, și fie 1 ≤ p, q ≤ ∞ cu 1/p + 1/q = 1, iar f o funcție definită pe L^p(S) și g definită pe L^q(S). Atunci fg parcurge L¹(S) și

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q.$

Dacă S ={1,...,n}, obținem un caz particular al inegalității :

$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{1/q}$

valabilă pentru toate numerele reale (sau complexe) x₁,...,x_n, y₁,...,y_n.

Pentru p = q = 2, obținem Inegalitatea Cauchy-Schwarz.

Inegalitatea lui Hölder este utilizată pentru a demonstra inegalitatea triunghiului în spațiul L^p, în multe cazuri fiind denumită inegalitatea Minkowski, dar și pentru a demonstra că L^p este spațiul dual asociat lui L^q și aceasta dacă $p\ne 1$.

Demonstrație

Faptul că funcția logaritm natural este o funcție concavă ne permite să scriem că, pentru orice numere reale strict pozitive a și b și pentru orice p și q pentru care $\frac{1}{p},\frac{1}{q}$ sunt pozitive și au suma 1: $\frac{1}{p}\ln (a)+\frac{1}{q}\ln (b)\le \ln (\frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b)$, sau folosind funcția exponențială: $a^{1/p}{b}^{1/q}\le \frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b.$ (1)

Să presupunem că $\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p=\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q=1.$ Luând $a=|x_k{|}^p$ și $b=|y_k{|}^q$ din inegalitățile de mai sus, apoi însumând pentru k de la 1 la n, obținem: $\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le 1.$ (2)

Acum să presupunem că $\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p$ și $\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q$ sunt nenule (adică cel puțin unul dintre $x_k$ și cel puțin unul dintre $y_k$ sunt nenule). Punând $x{\text{'}}_i=\frac{x_i}{{(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}}$ și $y{\text{'}}_i=\frac{y_i}{{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{1/q}}$ putem să aplicăm inegalitatea (2) cu acei coeficienți $x{\text{'}}_i$ și $y{\text{'}}_i$, de unde obținem inegalitatea lui Hölder. Acesta este evidentă dacă toți $x_k$ și toți $y_k$ sunt nuli.

Generalizare

Această inegalitate se poate generaliza astfel: Fie $f_k\in L^{p_k}(S)$ cu $\sum _{k=1}^{n}1/p_k=1$, atunci:

Avem $f_1...f_n\in L^1(S)$ și $\Vert f_1...f_n{\Vert }_1\le \Vert f_1{\Vert }_{p_1}...\Vert f_n{\Vert }_{p_n}.$