Inducție electrică

În fizică, deplasarea electrică (notată cu D) sau inducția electrică este un câmp vectorial care apare în ecuațiile lui Maxwell. Ea modelează efectele câmpului electric asupra Format:Ill-wd din materiale. „D” înseamnă „deplasare”, ca în conceptul asociat de Format:Ill-wd din Format:Ill-wd. În vid, inducția electrică este echivalentă cu densitatea de flux electric, un concept prezent în teorema lui Gauss. În Sistemul Internațional de Unități (SI), inducția electrică se măsoară în coulomb pe metru pătrat (C ⋅ m⁻²).

Definiție

Într-un material Format:Ill-wd, prezența unui câmp electric E face ca sarcinile legate din material (nucleele atomice și electronii lor) să se separe ușor, inducând un moment dipol electric local. Câmpul de deplasare electrică „D” este definit ca$$𝐃\equiv {\epsilon }_0𝐄+𝐏,$$Unde ${\epsilon }_0$ este Format:Ill-wd, iar P este densitatea (macroscopică) a momentelor dipol electric permanent și indus din material, numită Format:Ill-wd.

Inducția electrică satisface legea lui Gauss într-un dielectric:$$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho -{\rho }_{\text{b}}={\rho }_{\text{f}}$$În această ecuație, ${\rho }_{\text{f}}$ este numărul de sarcini libere pe unitate de volum. Aceste sarcini sunt cele care fac ca volumul să nu fie neutru și, uneori, sunt denumite Format:Ill-wd. Această ecuație spune, de fapt, că liniile de flux ale lui D trebuie să înceapă și să se termine pe sarcinile libere. În contrast, ${\rho }_{\text{b}}$ este densitatea tuturor acelor sarcini care fac parte dintr-un dipol, care dipoli sunt neutri. În exemplul unui dielectric izolator între plăcile metalice ale unui condensator, singurele sarcini libere sunt pe plăcile metalice, iar dielectricul conține doar dipoli. Dacă dielectricul este înlocuit cu un semiconductor dopat sau un gaz ionizat etc., atunci electronii se mișcă în raport cu ionii, iar dacă sistemul este finit, ambii contribuie la ${\rho }_{\text{f}}$ la margini.   Format:Math proof

Forțele electrostatice care acționează asupra ionilor sau electronilor din material sunt guvernate de câmpul electric E din material prin intermediul forței Lorentz. De asemenea, D nu este determinat exclusiv de sarcinile libere. Deoarece E are rotor zero în situații electrostatice, rezultă că$$\mathrm{\nabla }\times 𝐃=\mathrm{\nabla }\times 𝐏$$Efectul acestei ecuații poate fi văzut în cazul unui obiect cu o polarizare „înghețată” precum un electret bară, analogul electric al unui magnet bară. Nu există sarcini libere într-un astfel de material, dar polarizarea inerentă dă naștere unui câmp electric, ceea ce demonstrează că inducția D nu este determinată în întregime de sarcinile libere. Câmpul electric este determinat prin utilizarea relației de mai sus împreună cu alte condiții la limită asupra Format:Ill-wd pentru a produce sarcinile legate, care, la rândul lor, vor produce câmpul electric.

Într-un dielectric Format:Ill-wd, izotrop și Format:Ill-wd, cu răspuns instantaneu la modificările câmpului electric, P depinde liniar de câmpul electric,$$𝐏={\epsilon }_0\chi 𝐄,$$unde constanta de proporționalitate Format:Math se numește Format:Ill-wd a materialului. Prin urmare$$𝐃={\epsilon }_0(1+\chi )𝐄=\epsilon 𝐄$$unde Format:Math este permitivitatea și Format:Math este permitivitatea relativă a materialului.

În medii liniare, omogene, izotrope, Format:Math este o constantă. Cu toate acestea, în mediile liniare anizotrope este un tensor, iar în mediile neomogene este o funcție de poziție în interiorul mediului. Poate depinde și de câmpul electric (materiale neliniare) și poate avea un răspuns dependent de timp. Dependența explicită de timp poate apărea dacă materialele se mișcă fizic sau se schimbă în timp (de exemplu, reflexiile de pe o interfață în mișcare dau naștere la deplasări Doppler). O formă diferită de dependență de timp poate apărea într-un mediu invariant în timp, deoarece poate exista o întârziere de timp între aplicarea câmpului electric și polarizarea rezultată a materialului. În acest caz, P este o convoluție a susceptibilității Format:Ill-wd χ și a câmpului electric E. O astfel de convoluție ia o formă mai simplă în Format:Ill-wd: prin transformarea Fourier a relației și aplicarea Format:Ill-wd, se obține următoarea relație pentru un mediu Format:Ill-wd:$$𝐃\mathbf{(}\mathit{\omega }\mathbf{)}=\epsilon (\omega )𝐄(\omega ),$$Unde $\omega$ este frecvența câmpului aplicat. Constrângerea cauzalității conduce la Format:Ill-wd, care limitează forma dependenței de frecvență. Fenomenul de permitivitate dependentă de frecvență este un exemplu de dispersie a materialului. De fapt, toate materialele fizice au o anumită dispersie de material deoarece nu pot răspunde instantaneu la câmpurile aplicate, dar pentru multe aplicații (cele care se referă la o Format:Ill-wd suficient de îngustă) dependența de frecvență a lui Format:Math poate fi neglijată.

La o suprafață de contact, $({𝐃}_{\mathrm{𝟏}}-{𝐃}_{\mathrm{𝟐}})\cdot \widehat{𝐧}=D_{1,\perp }-D_{2,\perp }={\sigma }_{\text{f}}$, unde Format:Math este densitatea de sarcină liberă și normala unitate $\widehat{𝐧}$ indică direcția de la mediul 2 la mediul 1.

Istorie

Legea lui Gauss a fost formulată de Carl Friedrich Gauss în 1835, dar nu a fost publicată decât în 1867, ceea ce înseamnă că formularea și utilizarea lui D nu datează de mai devreme de 1835 și probabil nu mai devreme de anii 1860.

Cea mai veche utilizare cunoscută a termenului este din anul 1864, în lucrarea lui James Clerk Maxwell Format:Lang. Maxwell a folosit instrumente de analiză matematică pentru a prezenta teoria lui Michael Faraday, conform căreia lumina este un fenomen electromagnetic. Maxwell a introdus termenul D, capacitatea specifică a inducției electrice, într-o formă diferită de notațiile moderne și familiare.

Oliver Heaviside a fost cel care a reformulat ecuațiile complicate ale lui Maxwell în forma lor modernă. Abia în 1884, concomitent cu Willard Gibbs și Heinrich Hertz, Heaviside a grupat ecuațiile într-un set distinct. Acest grup de patru ecuații a fost cunoscut sub numele de ecuații Hertz-Heaviside și ecuații Maxwell-Hertz și, uneori, este încă cunoscut sub numele de ecuații Maxwell-Heaviside; prin urmare, probabil Heaviside a fost cel care a împrumutat lui D semnificația actuală.

Exemplu: inducția electrică într-un condensator

Un condensator cu plăci paralele. Folosind o cutie imaginară, se poate folosi legea lui Gauss pentru a explica relația dintre inducția electrică și sarcinile libere.

Fie un condensator cu plăci paralele infinite în care spațiul dintre plăci este gol sau conține un mediu neutru, izolator. În acest caz, nu există sarcini libere, cu excepția plăcilor metalice ale condensatorului. Deoarece liniile de flux D se termină pe sarcini libere și există același număr de sarcini uniform distribuite și de semn opus pe ambele plăci, atunci liniile de flux trebuie să traverseze pur și simplu condensatorul de la o parte la alta și Format:Nowrap în afara condensatorului. În unitățile SI, densitatea de sarcină pe plăci este egală cu valoarea câmpului D dintre plăci. Acest lucru decurge direct din Format:Ill-wd, prin integrarea pe o cutie dreptunghiulară mică care cuprinde o parte dintr-o placă a condensatorului:

Format:Oiint

Pe părțile laterale ale cutiei, dA este perpendicular pe câmp, deci integrala pe această secțiune este zero, la fel ca integrala pe fața care se află în afara condensatorului unde D este zero. Singura suprafață care contribuie la integrală este, prin urmare, suprafața cutiei din interiorul condensatorului și, prin urmare$$|𝐃|A=|Q_{\text{liber}}|,$$unde Format:Math este aria suprafeței feței superioare a cutiei și $Q_{\text{free}}/A={\rho }_{\text{f}}$ este densitatea de sarcină liberă de suprafață pe placa pozitivă. Dacă spațiul dintre plăcile condensatorului este umplut cu un dielectric izotrop liniar omogen cu permitivitate $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$, atunci există o polarizare indusă în mediu, $𝐃={\epsilon }_0𝐄+𝐏=\epsilon 𝐄$ și astfel diferența de tensiune dintre plăci este$$V=|𝐄|d=\frac{|𝐃|d}{\epsilon }=\frac{|Q_{\text{free}}|d}{\epsilon A}$$unde Format:Math este distanța între ele.

Introducerea dielectricului crește Format:Math cu un factor Format:Math și fie diferența de tensiune dintre plăci va fi mai mică cu acest factor, fie sarcina trebuie să fie mai mare. Anularea parțială a câmpurilor din dielectric permite ca o cantitate mai mare de sarcini libere să se afle pe cele două plăci ale condensatorului pe fiecare unitate de cădere de potențial decât ar fi posibilă dacă plăcile ar fi separate prin vid.

Dacă distanța Format:Math dintre plăcile unui condensator cu plăci paralele finite este mult mai mică decât dimensiunile sale laterale, o putem aproxima folosind cazul infinit și obținem capacitatea sa ca$$C=\frac{Q_{\text{free}}}{V}\approx \frac{Q_{\text{free}}}{|𝐄|d}=\frac{A}{d}\epsilon ,$$