Funcție Struve

În matematică, funcția Struve notată ${𝐇}_{\alpha }(x)$, este soluția y(x) a ecuației diferențiale Bessel neomogene:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=\frac{4{(x/2)}^{\alpha +1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}$

introdusă de H.Struve in 1882. Numărul complex α este ordinul funcției Struve, și adesea este un întreg.

Funcția Struve modificată este L_α(x) = −ie^−iαπ/2H_α(ix).

Definiție

Deoarece aceasta este o ecuație neomogenă, soluția poate fi construită dintr-o soluție particulară plus soluția ecuației omogene. În acest caz, soluția omogenă este o funcție Bessel, iar soluția particulară poate fi aleasă ca funcția corespunzătoare Struve.

Dezvoltare în serie de puteri

Funcția Struve se dezvoltă în următoarea serie de puteri:

${𝐇}_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{\mathrm{\Gamma }(m+\frac{3}{2})\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +\frac{3}{2})}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha +1}$

unde $\mathrm{\Gamma }(z)$ este funcția gamma.

Forma integrală

O altă definiție a funcției Struve, pentru valori $\alpha$ care satisfac relația $\mathrm{Re}\{\alpha \}>-1/2$, este posibilă folosind reprezentarea integrală:

${𝐇}_{\alpha }(x)=\frac{2{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sin (x\cos \tau ){\sin }^{2\alpha }(\tau )d\tau .$

Formele asimptotice

Pentru x mic, seria de puteri a fost dată la paragraful Expansiunea în serie de puteri.

Pentru x mare, obținem:

${𝐇}_{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\to \frac{1}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)$

unde $Y_{\alpha }(x)$ este funcția Neumann.

Proprietăți

Funcția Struve satisface următoarele relații de recurență:

${𝐇}_{\alpha -1}(x)+{𝐇}_{\alpha +1}(x)=\frac{2\alpha }{x}{𝐇}_{\alpha }(x)+\frac{{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}$

${𝐇}_{\alpha -1}(x)-{𝐇}_{\alpha +1}(x)=2\frac{\mathrm{d}{𝐇}_{\alpha }}{\mathrm{d}x}-\frac{{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}.$

Relația cu alte funcții

Funcția Struve de ordin întreg poate fi exprimată în termenii funcției Weber E_n și vice-versa, dacă n nu este un întreg negativ:

${𝐄}_n(z)=\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1/2)(z/2{)}^{n-2k-1}}{\mathrm{\Gamma }(n-1/2-k)}{𝐇}_n$

${𝐄}_{-n}(z)=\frac{(-1{)}^{n+1}}{\pi }\sum _{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k-1/2)(z/2{)}^{-n+2k+1}}{\mathrm{\Gamma }(k+3/2)}{𝐇}_{-n}.$

Funcția Struve de ordinul n+1/2 (n un întreg) poate fi exprimată în termenii unei funcții elementare. În particular, dacă n nu este un întreg negativ, atunci:

${𝐇}_{-n-1/2}(z)=(-1{)}^n{J}_{n+1/2}(z)$

unde partea dreaptă a egalității este o funcție Bessel sferică.

Funcția Struve (de orice ordin) poate fi exprimată în termenii funcției hipergeometrice ₁F₂ (care nu este funcția hipergeometrică Gauss ₂F₁) :

${𝐇}_{\alpha }(z)=\frac{(z/2{)}^{\alpha +1/2}}{\sqrt{2\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +3/2)}{}_1{F}_2(1,3/2,\alpha +3/2,-z^2/4).$

Referințe

• Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 12..
• Ivanov A.B, Struve function, in Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 978-1556080104
• Format:Citation
• R.M. Aarts and Augustus J.E.M. Janssen, "Approximation of the Struve function H1 occurring in impedance calculations" |journal= J. Acoust. Soc. Am. |volume= 113 |pages= 2635-2637 |year= 2003
• Format:Citation

Legături externe

• Struve functions at the Wolfram functions site.