Funcția zeta locală

În teoria numerelor funcția zeta locală Format:Math (uneori numită funcția zeta congruentă sau funcția zeta Hasse–Weil) este o funcție a cărei derivată logaritmică este o funcție generatoare pentru numărul de soluții ale unui set de ecuații definite pe un corp finit. Ea este definită ca

$Z(V,s)=\exp (\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_m}{m}(q^{-s}{)}^m)$

unde Format:Mvar uste un punct nesingular Format:Mvar-dimensional al unei Format:Ill-wd peste corpul Format:Math cu Format:Mvar elemente, iar Format:Math este numărul de puncte al Format:Mvar definit pe extinderea de corp finită Format:Math a lui Format:Math.

Cu schimbarea de variabilă Format:Math se obține

$𝑍(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_m\frac{u^m}{m}\right)$

ca o serie formală în variabila $u$.

În mod echivalent, funcția zeta locală este uneori definită astfel:

$(1)𝑍(V,0)=1,$

$(2)\frac{d}{du}\log 𝑍(V,u)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_m{u}^{m-1}.$

Cu alte cuvinte, funcția zeta locală Format:Math cu coeficienți în corpul finit Format:Math este definită ca o funcție a cărei derivată logaritmică generează numărul Format:Math de soluții ale ecuației care definesc Format:Mvar în extinderea de grad Format:Mvar Format:Math

Formulare

Fiind dat un corp finit F, există, până la izomorfism, un singur corp F_k cu

$[F_k:F]=k$,

pentru k = 1, 2, ... . Având în vedere un set de ecuații polinomiale — sau o varietate algebrică V — definit peste F, se poate stabili numărul $N_k$ de soluții în F_k și crea funcția generatoare

$G(t)=N_{1}t+N_2{t}^2/2+N_3{t}^3/3+\cdots$.

Definiția corectă pentru Z(t) este să se pună log Z egal cu G, deci

$Z=\exp (G(t))$

și Z(0) = 1, deoarece G(0) = 0, iar Z(t) este a priori o serie formală.

Derivata logaritmică

$Z^{\prime }(t)/Z(t)$

este egală cu funcția generatoare

$G^{\prime }(t)=N_1+N_2{t}^1+N_3{t}^2+\cdots$.

Exemple

De exemplu, se presupune că toate Format:Mvar sunt 1; acest lucru se întâmplă, de exemplu, dacă se începe cu o ecuație de genul Format:Mvar = 0, astfel încât din punct de vedere geometric se consideră că Format:Mvar este un punct. Apoi

$G(t)=-\log (1-t)$

este extinderea unui logaritm (pentru |t| < 1). În acest caz există

$Z(t)=\frac{1}{(1-t)}.$

Pentru a face ceva mai interesant, fie Format:Mvar dreapta proiectivă peste Format:Mvar. Dacă Format:Mvar are elemente Format:Mvar, atunci acesta are Format:Mvar + 1 puncte, inclusiv punctul de la infinit. Prin urmare,

$N_k=q^k+1$

și

$G(t)=-\log (1-t)-\log (1-qt)$

pentru |Format:Mvar| suficient de mic, prin urmare

$Z(t)=\frac{1}{(1-t)(1-qt)}.$

Primul studiu al acestor funcții a fost făcut în disertația din 1923 a lui Emil Artin, care a obținut rezultate pentru cazul unei curbe hipereliptice și a conjecturat alte puncte principale ale teoriei aplicate curbelor. Teoria a fost apoi dezvoltată de F. K. Schmidt și Helmut Hasse. Cele mai vechi cazuri netriviale cunoscute de funcții zeta locale au apărut implicit în Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, articolul 358. Acolo, anumite exemple particulare de curbe eliptice peste corpuri finite având Format:Ill-wd au punctele numărate prin intermediul rădăcinilor unității.

Motivări

Relația dintre definițiile lui Format:Mvar și Format:Mvar poate fi explicată în mai multe moduri. (Vezi, de exemplu, formula produsului infinit pentru Format:Mvar de mai jos.) În practică, face din Format:Mvar o funcție rațională de Format:Mvar, ceva care este interesant chiar și în cazul lui Format:Mvar, o curbă eliptică peste un corp finit.

Funcțiile zeta locale Format:Mvar sunt înmulțite pentru a obține funcții zeta globale $\zeta$. Acestea implică, în general, corpuri finite diferite (de exemplu întreaga familie de corpuri Z/pZ deoarece p este oricare număr prim).

În aceste corpuri, variabila Format:Mvar este înlocuită cu Format:Mvar, unde Format:Mvar este variabila complexă folosită în mod tradițional în Format:Ill-wd.

Produsele globale ale lui Format:Mvar în cele două cazuri folosite ca exemple în secțiunea anterioară sunt ca $\zeta (s)$ și $\zeta (s)\zeta (s-1)$ după ce s-a făcut $q=p$.

Ipoteza Riemann pentru curbe din corpuri finite

Pentru curbele proiective Format:Mvar din Format:Mvar care sunt nesingulare se poate arăta că

$Z(t)=\frac{P(t)}{(1-t)(1-qt)},$

cu Format:Mvar(Format:Mvar) un polinom, de gradul 2g, unde g este genul al lui Format:Mvar. Reformulînd

$P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-{\omega }_{i}t),$

ipoteza Riemann pentru curbe din corpuri finite afirmă că

$|{\omega }_i|=q^{1/2}.$

De exemplu, pentru cazul curbei eliptice există două rădăcini și este ușor de arătat că valorile absolute ale rădăcinilor sunt Format:Mvar^1/2. Teorema lui Hasse afirmă că au aceeași valoare absolută; iar acest lucru are consecințe imediate asupra numărului de puncte.