Serie formală

În algebră, conceptul de serie formală reprezintă o generalizare a noțiunii de polinom. A apărut în lucrările lui Isaac Newton și are aplicații în analiza matematică, studiul ecuațiilor diferențiale, geometrie algebrică și în alte ramuri matematice.

Definiție

Fie $(A,+,\cdot )$ un inel integru. Se numește serie formală, într-o variabilă cu coeficienți în inelul $A,$ o funcție $f:\mathbb{N}\to A.$

Fie mulțimea valorilor lui $f:Imf=\{a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots \}.$ Acestei mulțimi i se asociază expresia:

$a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots a_n{T}^n+\cdots ,$

unde $T=\{0,1,0,0,\cdots ,0,\cdots \}\in A^{\mathbb{N}}$ este șirul de numere reale care are al doilea element 1, iar celelalte elemente zero. Deoarece seriei formale i se poate asocia expresia de mai sus, în loc de $f:\mathbb{N}\to A$ se mai scrie $f=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots a_n{T}^n+\cdots ,$ iar elementele $a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$ se numesc coeficienții seriei formale f.

Mulțimea seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul integru $A$ se notează $A[[T]].$

Exemple

$1)$ Orice polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul $A$ este o serie formală:

$f=a_0+a_{1}T+\cdots +a_n{T}^n+\cdots \in A[[T]],$

astfel încât există $k\in \mathbb{N}$ pentru care $a_k\ne 0,$ iar $a_{k+1}=a_{k+2}=\cdots =a_{k+s}=0,\mathrm{\forall }s\ge 1.$ În acest caz, k se numește gradul polinomului f, iar f se mai scrie sub forma:

$f=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_n{T}^n.$

Dacă $a_k=0,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},$ atunci gradul polinomului f se consideră a fi $-\mathrm{\infty }.$

$2)$  $f=1+T+T^2+\cdots +T^n+\cdots \in \mathbb{Z}[[T]].$

$3)$.  $f=1+\frac{T}{3}+\frac{T^2}{9}+\frac{T^3}{27}+\cdots +\frac{T^n}{3^n}+\cdots \in \mathbb{Q}[[T]].$

$4)$  $f=T^2-2T^3+3T^4-\cdots +(n-1)(-1{)}^n{T}^n+\cdots \in \mathbb{Z}[[T]].$

$Observa\underset{\text{'}}{t}ie.$ În exemplul $1$ se vede că unui polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul A i se asociază un număr natural bine determinat, gradul acestuia. Pentru o serie formală oarecare $f=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots \in A[[T]]$ nu se mai poate defini noțiunea de grad, deoarece nu se știe dacă există un număr natural $k$ astfel încât $a_{k+l}=0$ pentru $l\ge 1.$ Există însă cel mai mic număr natural $l$ pentru care $a_l\ne 0$ (eventual $l=0$).

Ordinul unei serii formale

$Defini\underset{\text{'}}{t}ie.$ Se numește ordinul seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul $A=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_n{T}^n+\cdots$ numărul:

$ordf=\{\begin{array}{cc}\min \{i;a_i\ne 0\},& dacaf\ne 0\\ \mathrm{\infty }& dacaf=0.\end{array}$

Operații cu serii formale

Fie $f=a_0+a_{1}T+\cdots +a_n{T}^n+\cdots$ și $g=b_0+b_{1}T+\cdots +b_n{T}^n+\cdots$ două serii formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul $A.$ Se definește suma și produsul lor astfel:

$f+g=a_0+b_0+(a_1+b_1)T+\cdots +(a_n+b_n)T+\cdots$

$fg=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)T+\cdots +(a_0{b}_i+a_1{b}_{i-1}+\cdots +a_{i-1}{b}_1+a_i{b}_0)T^i+\cdots$

$Propozi\underset{\text{'}}{t}ie.$ Dacă $(A,+,\cdot )$ este un inel comutativ, atunci și $(A,[[T]],+,\cdot )$ este un inel comutativ.

$Demonstra\underset{\text{'}}{t}ie.$ "Adunarea" și "înmulțirea" seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ $A$ sunt asociative și comutative deoarece "adunarea" și "înmulțirea" din inelul $A$ sunt asociative și comutative.

Seria formală $0=0+0\cdot T+\cdots +0\cdot T^n+\cdots$ este element neutru pentru adunarea seriilor formale.

Dacă $f=a_0+a_{1}T+\cdots +a_n{T}^n+\cdots \in A[[T]],$ atunci seria formală $-f=-a_0+(-a_1)T+\cdots +(-a_n)T^n$ este opusa seriei formale $f$ întrucât $f+(-f)=(-f)+f=0.$ Seria formală $1=1+0\cdot T+\cdots +0\cdot T^n+\cdots$ este element neutru pentru înmulțirea seriilor formale.

Serii formale inversabile

$Propozi\underset{\text{'}}{t}ie.$ O serie formală într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ $A:$

$f=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_n{T}^n+\cdots$

este inversabilă în $A[[T]]$ dacă și numai dacă elementul $a_0$ este inversabil în $A.$

$Demonstra\underset{\text{'}}{t}ie.$ Se arată mai întâi că dacă seria formală $f=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_n{T}^n+\cdots$ este inversabilă în $A[[T]],$ atunci $a_0$ este inversabilă în $A.$ Fie $g=b_0+b_{1}T+b_2{T}^2+\cdots +b_n{T}^n+\cdots \in A[[T]]$ astfel încât $(a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_n{T}^n+\cdots )\cdot (b_0+b_{1}T+b_2{T}^2+\cdots +b_n{T}^n+\cdots )=1.$ Atunci $a_0{b}_0=1,$ deci $a_0$ este inversabil în $A.$

Reciproc, acum se presupune că elementul $a_0$ este inversabil în $A$ și se arată că seria formală $f=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+\cdots +a_n{T}^n+\cdots$ este inversabilă în $A[[T]].$ Pentru aceasta, se demonstrează că există o serie formală $g=b_0+b_{1}T+b_2{T}^2+\cdots +b_n{T}^n+\cdots \in a[[T]]$ astfel încât $fg=1.$ Pentru aceasta, se arată că există elementele $b_0,b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots \in A$ astfel încât:

$a_0{b}_0=1$

$a_0{b}_1+a_1{b}_0=0$

$a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0=0$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

$a_0{b}_i+a_1{b}_{i-1}+\cdots +a_{i-1}{b}_1+a_i{b}_0=0.$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

Din $a_0{b}_0=1$ rezultă că $b_0=a_0^{-1}.$

Din $a_0{b}_1+a_1{b}_0=0$ rezultă că $b_1=a_0^{-1}(-a_1{b}_0).$

Din $a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0=0$ rezultă că $b_2=a_0^{-1}(-a_1{b}_1-a_2{b}_0).$

Dacă se presupune că sunt determinați $b_0,b_1,\cdots ,b_{i-1},$ atunci din relația $a_0{b}_i+a_1{b}_{i-1}+\cdots +a_{i-1}{b}_1+a_i{b}_0=0$ rezultă că $b_i=a_0^{-1}(-a_1{b}_{i-1}-\cdots -a_{i-1}{b}_1-a_i{b}_0).$

Deci există o serie formală $g=b_0+b_{1}T+\cdots +b_n{T}^n+\cdots$ astfel încât $fg=1.$

Exemple de serii formale inversabile

$1.$ Fie $f=1-X\in \mathbb{Z}[[X]].$ Deoarece $(1-X)(1+X+\cdots +X^n+\cdots )=1,$ rezultă că:

$(1-X{)}^{-1}=1+X+X^2+\cdots +X^n+\cdots$

Se observă că $1-X$ este inversabil în $\mathbb{Z}[[X]],$ dar nu este inversabil în $\mathbb{Z}[X].$

$2.$ Fie $f=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}T+\frac{1}{2}{T}^2\in \mathbb{Q}[[T]].$

Elementul $\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$ este inversabil, deci seria formală $f$ este inversabilă în $\mathbb{Q}[[T]].$ Se determină seria formală:

$f^{-1}=b_0+b_{1}T+\cdots +b_n{T}^n+\cdots \in \mathbb{Q}[[T]].$

Se obține: $(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}T+\frac{1}{2}{T}^2)\cdot (b_0+b_{1}T+\cdots +b_n{T}^n+\cdots )=1.$

Prin identificarea coeficienților, se obține:

	$\frac{1}{2}{b}_0=1,$	deci $b_0=2$
	$\frac{1}{2}{b}_1-\frac{1}{2}{b}_0=\frac{1}{2}{b}_1-1=0,$	deci $b_1=2$
	$\frac{1}{2}{b}_2-\frac{1}{2}{b}_1+\frac{1}{2}{b}_0=\frac{1}{2}{b}_2-1+1=\frac{1}{2}{b}_2=0,$	deci $b_2=0$
	$\frac{1}{2}{b}_3-\frac{1}{2}{b}_2+\frac{1}{2}{b}_1=\frac{1}{2}{b}_3+1=0,$	deci $b_3=-2$
	$\frac{1}{2}{b}_4-\frac{1}{2}{b}_3+\frac{1}{2}{b}_2=\frac{1}{2}{b}_4+1=0,$	deci $b_4=-2$
	$\frac{1}{2}{b}_5-\frac{1}{2}{b}_4+\frac{1}{2}{b}_3=\frac{1}{2}{b}_5+1-1=\frac{1}{2}{b}_5=0,$	deci $b_5=0$
	$\frac{1}{2}{b}_6-\frac{1}{2}{b}_5+\frac{1}{2}{b}_4=\frac{1}{2}{b}_6-1=0,$	deci $b_6=2.$

Deci coeficienții se repetă. Prin urmare:

${(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}T+\frac{1}{2}{T}^2)}^{-1}=$

$=2+2T-2T^3-2T^4+\cdots -2T^{6k-2}+2T^{6k}+2T^{6k+1}-2T^{6k+3}-2T^{6k+4}+\cdots$

Aplicații

Fie $f=1+T+T^2+\cdots \in \mathbb{Z}[[T]]$ și $g=(1+T)(1+T^2)(1+T^4)\cdots \in \mathbb{Z}[[T]].$ Se arată că $f=g.$ Există relațiile:

$(1-T)f=(1-T)(1+T+T^2+\cdots )=1$

$(1-T)g=(1-T)(1+T)(1+T^2)(1+T^4)\cdot \cdots =(1-T^2)(1+T^2)(1+T^4)\cdot \cdots =$

$=(1-T^4)(1+T^4)\cdot \cdots =(1_T^{2k})(1+T^{2k})(1+T^{2k+1})\cdot \cdots$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots =1$ (deoarece toți coeficienții puterilor lui $T_i$ sunt nuli).

Prin urmare $(1-T)f=(1-T)g.$ Rezultă:

$(1-T{)}^{-1}(1-T)f=(1-T{)}^{-1}(1-T)g,$ de unde $f=g.$

Se vor defini cu ajutorul seriilor formale unele funcții elementare care sunt utilizate frecvent. Pentru a demonstra unele proprietăți ale acestor funcții, se va utiliza noțiunea de derivată a unei serii formale.

$Defini\underset{\text{'}}{t}ie.$ Se numește derivata seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ $A:$

$f=a_0+a_{1}T+\cdots +a_n{T}^n+\cdots$

seria formală:

$f^{\prime }=a_1+2a_{2}T+\cdot +n{a}_n{T}^{n-1}+\cdots$

Derivata unei serii formale $f$ se mai notează $df$ sau $df/dT.$

Se remarcă faptul că dacă $f$ este o serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali, atunci $df$ este derivata obișnuită a funcției $f:ℝ\to ℝ,f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$

$Observa\underset{\text{'}}{t}ie.df=0\iff ordf=0.$

Funcțiile trigonometrice formale

$Defini\underset{\text{'}}{t}ie.$ Se numește funcția sinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

$\sin T=T-\frac{T^3}{3!}+\frac{T^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{T^{2k+1}}{(2k+1)!}+\cdots$

Se numește funcția cosinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

$\sin T=1-\frac{T^2}{2!}+\frac{T^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{T^{2k}}{(2k)!}+\cdots$

$Teorem\breve{a}.$ Pentru funcțiile trigonometrice formale există relațiile:

$i)\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x$

$ii){\sin }^{\prime }x=\cos x,{\cos }^{\prime }x=-\sin x.$

$Demonstra\underset{\text{'}}{t}ie.$

$i)\sin (-x)=-x+\frac{x^3}{3!}-\cdots +(-1{)}^{k+1}+\cdots =-\sin x.$

$\cos (-x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots =\cos x.$

$ii){\sin }^{\prime }x=1-3\frac{x^3}{3!}+\cdots +(-1{)}^k\frac{(2k+1)x^{2k}}{(2k+1)!}+\cdots =\cos x$

${\cos }^{\prime }x=-\frac{2x}{2!}+\cdots +(-1{)}^k\frac{2k{x}^{2k-1}}{(2k)!}+\cdots =-\sin x.$

De remarcat faptul că: $\sin 0=0,\cos 0=1.$

$Teorem\breve{a}.$ Dacă $a,x\in ℝ$ atunci :

$\sin (a+x)=\sin a\cdot \cos x+\cos a\cdot \sin x$

$\cos (a+x)=\cos a\cdot \cos x-\sin a\cdot \sin x.$

$Demonstra\underset{\text{'}}{t}ie.$ Se consideră seriile formale în variabila $x$ cu coeficienți reali:

$F_1(x)=\sin (a+x)-\sin a\cdot \cos x-\cos a\cdot \sin x$

$F_2(x)=\cos (a+x)-\cos a\cdot \cos x+\sin a\cdot \sin x$

$F(x)=F_1^2(x)=F_1^2(x)+F_2^2(x).$

Se remarcă faptul că: $F_1(0)=F_2(0)=0.$ De asemenea:

$F{\text{'}}_1(x)=\cos (a+x)+\sin a\cdot \sin x-\cos a\cdot \cos x=F_2(x)$

$F{\text{'}}_2(x)=-\sin (a+x)+\cos a\cdot \sin x+\sin a\cdot \cos x=-F_1(x).$

Derivând și seria formală $F(x)$ se obține:

$F^{\prime }(x)=2F_1(x)F{\text{'}}_1(x)+2F_2(x)F{\text{'}}_2(x)=2F_1(x)F_2(x)-2F_2(x)F_1(x)=0.$

Dacă $F(x)$ are ordinul zero, adică $F(x)=c,c\in ℝ.$ Însă $F(0)=0,$ prin urmare $F(x)=0.$ De aici rezultă și $F_1(x)=F_2(x)=0,$ deci:

$\sin (a+x)=\sin a\cdot \cos x+\cos a\cdot \sin x$

$\cos (a+x)=\cos a\cdot \cos x-\sin a\cdot \sin x.$

Funcția exponențială

$Defini\underset{\text{'}}{t}ie.$ Se numește funcție exponențială funcția $\exp :ℝ\to ℝ$ definită prin seria formală:

$\exp T=1+\frac{T}{1!}+\cdots +\frac{T^n}{n!}+\cdots$

$Propozi\underset{\text{'}}{t}ie.(\exp x{)}^{\prime }=\exp x,\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

$Demonstra\underset{\text{'}}{t}ie.(\exp x{)}^{\prime }=1+\frac{2x}{2!}+\cdots +\frac{n{x}^{n-1}}{n!}+\cdots =\exp x.$

$Teorem\breve{a}.\exp (x+y)=\exp x\cdot \exp y,\mathrm{\forall }x,y\in ℝ.$

$Demonstra\underset{\text{'}}{t}ie.$

$\exp x\cdot \exp y=(1+\frac{x}{1!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots )\cdot (1+\frac{y}{1!}+\cdots +\frac{y^n}{n!}+\cdots )=$

$=a_0+a_{1}t+\cdots +a_n{t}^n+\cdots ,$

unde $a_n{t}^n=\sum _{p=0}^n\frac{x^p{y}^{n-p}}{p!(n-p)!}=\frac{1}{n!}\sum _{p=0}^n\frac{n!}{p!(n-p)!}{x}^p{y}^{n-p}=\frac{1}{n!}(x+y{)}^n.$

Prin urmare: $\exp x\cdot \exp y=1+\frac{x+y}{1!}+\cdots +\frac{(x+y{)}^n}{n!}+\cdots =\exp (x+y).$

Pentru funcția exponențială $\exp x$ se mai folosește și notația $e^x.$

Se remarcă faptul că $\exp 0=1,\exp (-x)=(\exp x{)}^{-1},\exp x\ne 0,\mathrm{\forall }x\in ℝ.$

Bibliografie

• Miron Nicolescu - Analiză matematică, vol. I, 1957;
• P. Samuel, O. Zariski - Comutative algebra, vol. I, 1959;
• N. Radu, I. D. Ion - Algebra, 1970.