Evolută

Evoluta parabolei (cu albastru) este locul geometric al centrelor de curbură ale sale (cu roșu)

Evoluta acestei elipse este anvelopa normalelor la ea

În geometria diferențială a curbelor, evoluta unei curbe este locul geometric al tuturor centrelor de curbură. Adică, atunci când se trasează centrul de curbură al fiecărui punct de pe o curbă, forma rezultată va fi evoluta acelei curbe. Prin urmare, evoluta unui cerc este un singur punct, centrul său. Echivalent, o evolută este anvelopa normalelor la o curbă.

Evolutele sunt strâns legate de evolvente: o curbă este evoluta oricărei evolvente a sa.

Istoric

Apoloniu din Perga (c. 200 î.Hr.) a discutat despre evolute în Cartea a V-a din Koniká (Conice). Totuși, Christiaan Huygens este uneori considerat că a fost primul care le-a studiat (1673). Huygens și-a formulat teoria evolutelor cândva în jurul anului 1659 pentru a ajuta la rezolvarea problemei găsirii curbei tautocrone, care, la rândul ei, l-a ajutat să construiască un pendul izocron. Acest lucru se datorează faptului că curba tautocronă este o cicloidă, iar cicloida are proprietatea unică că evoluta sa este și ea o cicloidă. Teoria evolutelor i-a permis lui Huygens să obțină multe rezultate care vor fi găsite ulterior folosind calculul infinitezimal.

Evoluta unei curbe parametrice

Dacă $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{c}(t),t\in [t_1,t_2]$ este reprezentarea parametrică a unei curbe regulate în plan cu curbura nenulă peste tot, cu $\rho (t)$ raza de curbură și $\overrightarrow{n}(t)$ versorul normal îndreptată spre centrul de curbură, atunci

$\overrightarrow{E}(t)=\overrightarrow{c}(t)+\rho (t)\overrightarrow{n}(t)$

descrie evoluta curbei date.

Pentru $\overrightarrow{c}(t)=(x(t),y(t){)}^T$ și $\overrightarrow{E}=(X,Y{)}^T$ se obține

$X(t)=x(t)-\frac{y^{\prime }(t)\cdot (x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2)}{x^{\prime }(t)\cdot y^{″}(t)-x^{″}(t)\cdot y^{\prime }(t)}$

și

$Y(t)=y(t)+\frac{x^{\prime }(t)\cdot (x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2)}{x^{\prime }(t)\cdot y^{″}(t)-x^{″}(t)\cdot y^{\prime }(t)}$.

Proprietățile evolutei

Normala în punctul Format:Mvar este tangenta în centrul de curbură Format:Mvar

Pentru a obține proprietățile unei curbe regulate este avantajos să se folosească Format:Ill-wd $s$ al curbei date ca parametru, din cauza $|{\overrightarrow{c}}^{\prime }|=1$ și ${\overrightarrow{n}}^{\prime }=-{\overrightarrow{c}}^{\prime }/\rho$ (v. formulele Frenet–Serret). Prin urmare, vectorul tangent al evolutei $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{c}+\rho \overrightarrow{n}$ este:

${\overrightarrow{E}}^{\prime }={\overrightarrow{c}}^{\prime }+{\rho }^{\prime }\overrightarrow{n}+\rho {\overrightarrow{n}}^{\prime }={\rho }^{\prime }\overrightarrow{n}.$

Din această ecuație se obțin următoarele proprietăți ale evolutei:

• În punctele cu ${\rho }^{\prime }=0$ evoluta este neregulată. Asta înseamnă că în punctele cu curbură maximă sau minimă (vârfuri ale curbei date) evoluta are puncte de întoarcere. (V. sus evoluta unei elipse.)
• Pentru orice arc al evolutei care nu are un punct de întoarcere lungimea arcului este egală cu diferența dintre razele de curbură de la capetele sale. Acest fapt duce la o demonstrație ușoară a Format:Ill-wd privind imbricarea cercurilor osculatoare.
• Normalele curbei date în puncte de curbură diferită de zero sunt tangente la evolută, iar normalele curbei în punctele de curbură zero sunt asimptote ale evolutei. Prin urmare: evoluta este anvelopa normalelor curbei date.
• La secțiunile curbei cu ${\rho }^{\prime }>0$ sau ${\rho }^{\prime }<0$, curba este o evolventă a evolutei sale. (În imagine: parabola albastră este o evolventă a parabolei roșii semicubice, care este evoluta parabolei albastre.)
• Curbele paralele au aceeași evolută.

Exemple

Evoluta unei parabole

Pentru parabola cu reprezentarea parametrică $(t,t^2)$ din formulele de mai sus se obțin ecuațiile:

$X=\cdots =-4t^3$

$Y=\cdots =\frac{1}{2}+3t^2,$

care reprezintă o parabolă semicubică.

Evoluta (cu roșu a) unei elipse

Evoluta unei elipse

Pentru elipsa cu reprezentarea parametrică $(a\cos t,b\sin t)$ se obține:

$X=\frac{a^2-b^2}{a}{\cos }^{3}t$

$Y=\frac{b^2-a^2}{b}{\sin }^{3}t.$

Acestea sunt ecuațiile unei astroide nesimetrice. Eliminarea parametrului $t$ duce la reprezentarea implicită

$(aX{)}^{\frac{2}{3}}+(bY{)}^{\frac{2}{3}}=(a^2-b^2{)}^{\frac{2}{3}}.$

O cicloidă (cu albastru), cercul său osculator (cu roșu) și evoluta sa (cu verde)

Evoluta unei cicloide

Pentru cicloida cu reprezentarea parametrică $(r(t-\sin t),r(1-\cos t))$ evoluta va fi:

$X=\cdots =r(t+\sin t)$

$Y=\cdots =r(\cos t-1)$

care este o copie a ei însăși.

Bibliografie

• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:Springer
• Format:En icon Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
• Format:En icon Evolute on 2d curves.