Geometria diferențială a curbelor

Geometria diferențială a curbelor este o ramură a geometriei diferențiale care are ca obiectiv studiul diferențial și integral al curbelor în plan și în spațiu.

Definiția curbei

Definiția 1. Se numește curbă în spațiu dată parametric mulțimea punctelor $M(x,y,z)$ din spațiu a căror coordonate sunt date de:

$\mathrm{\Gamma }:\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t),t\in [a,b]\\ z=z(t)\end{array}$

(1)

funcțiile reale $x,y,z$ fiind continue pe $[a,b].$

Definiția 2. Se numește curbă în spațiu mulțimea punctelor $M(x,y,z)$ pentru care vectorul de poziție $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{r}$ este dat de:

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r(t)}=x(t)\cdot \overrightarrow{i}+y(t)\cdot \overrightarrow{j}+z(t)\cdot \overrightarrow{k},t\in [a,b].$

(2)

Tangenta la o curbă

Format:Articol principal Definiție. Se numește tangentă la curba $\mathrm{\Gamma }$ în punctul $M$ poziția limită a dreptei determinată de punctele $M$ și $M_1$ de pe curbă când punctul $M_1$ tinde către $M$ (dacă această limită există).

Teoremă. Dacă funcțiile $x,y,z$ sunt derivabile în $t$ și

$x{\text{'}}^2(t)+y{\text{'}}^2(t)+z{\text{'}}^2(t)\ne 0$

atunci ecuația tangentei la curbă este:

$\frac{X-x(t)}{x^{\prime }(t)}=\frac{Y-y(t)}{y^{\prime }(t)}=\frac{Z-z(t)}{z^{\prime }(t)},$

(3)

unde $X,Y,Z$ sunt coordonatele punctului curent de pe tangentă.

Demonstrație. Conform definiției derivatei unui vector și a tangentei, dacă punctul $T$ aparține tangentei atunci vectorii $\overrightarrow{MT}$   (de coordonate $X-x(t),Y-y(t),Z-z(t)$) și   $\overrightarrow{r^{\prime }(t)}$ sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporționale și se obține relația (3).

Binormala

Binormala la o curbă într-un punct dat este normala din acel punct și perpendiculară pe planul osculator al curbei din acel punct. Astfel, pentru curba dată de ecuațiile (1), ecuațiile binormalei sunt:

unde $x,y,z$ și derivatele lor sunt luate în punctul considerat.

Vezi și

• Geometria diferențială a suprafețelor