Domeniu stea

Un domeniu stea

O coroană circulară nu este un domeniu stea

În matematică o mulțime $S$ din spațiu euclidian ${ℝ}^n$ este numită domeniu stea (sau domeniu în formă de stea) dacă există cel puțin un punct $s_0\in S$ astfel încât pentru orice punct $s\in S,$ tot segmentul dintre $s_0$ și $s$ este cuprins în $S.$ Această definiție poate fi generalizată imediat la orice spațiu vectorial real sau complex.

Intuitiv, dacă se imaginează $S$ ca fiind o regiune înconjurată de un zid, $S$ este un domeniu stea dacă se poate găsi un punct de observare $s_0$ în $S$ din care orice punct $s$ din $S$ se află în raza vizuală. Un concept similar, dar distinct, este cel de mulțime radială.

Exemple

• Orice dreaptă sau plan din ${ℝ}^n$ este un domeniu stea.
• Dacă $A$ este o mulțime din ${ℝ}^n,$ mulțimea $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ obținută prin conectarea tuturor punctelor din $A$ la origine este un domeniu stea.
• Orice Format:Ill-wd vidă este un domeniu stea. O mulțime este convexă dacă și numai dacă este un domeniu stea față de orice punct din acea mulțime.
• Un patrulater care se autointersectează este un domeniu stea, dar nu este convex.
• Un poligon în formă de stea este un domeniu stea a cărei frontieră este o succesiune de segmente conectate.

Proprietăți

• închiderea a unui domeniu stea este un domeniu stea, dar interiorul unui domeniu stea nu este neapărat un domeniu stea.
• Orice domeniu stea este contractibil, printr-o omotopie în linie dreaptă. În special, orice domeniu stea este o mulțime simplu conexă.
• Orice domeniu stea, și doar un domeniu stea, poate fi „micșorat în sine”; adică pentru fiecare raport de dilatare $r<1,$ domeniul stea poate fi dilatat cu acest raport $r$ astfel încât domeniul stea dilatat să fie conținut în domeniul stea original.
• Reuniunea sau intersecția a două domenii stea nu este obligatoriu să fie un domeniu stea.
• Un domeniu stea deschis nevid $S$ în ${ℝ}^n$ este difeomorf cu ${ℝ}^n.$

Bibliografie

• Format:En icon Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983, Format:Isbn, Format:Mr
• Format:En icon C.R. Smith, A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). p. 386, Format:Mr, Format:JSTOR

Vezi și

• Poligon stelat

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:Mathworld