Domeniu c.m.m.d.c.

În matematică un domeniu c.m.m.d.c. sau domeniu GCD (din Format:En – GCD = c.m.m.d.c.) este un domeniu de integritate Format:Mvar cu proprietatea că oricare două elemente au un cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.). Adică există un ideal principal minim unic care conține idealul generat de cele două elemente date. Echivalent, oricare două elemente din Format:Mvar au un cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.).

Un domeniu c.m.m.d.c. generalizează un inel factorial la o versiune nenoetheriană în următorul sens: un domeniu de integritate este un inel factorial dacă și numai dacă este un domeniu c.m.m.d.c. care satisface condiția lanțului ascendent pe idealele principale (și în special dacă este noetherian).

Proprietăți

Orice element ireductibil al unui inel factorial este prim. Un inel factorial este un domeniu de integritate închis întreg, iar fiecare element nenul este principal. Cu alte cuvinte, fiecare domeniu GCD este un domeniu Schreier.

Pentru fiecare pereche de elemente Format:Mvar ale unui inel factorial Format:Mvar, un c.m.m.d.c. Format:Mvar al Format:Mvar și Format:Mvar și un c.m.m.m.c. Format:Mvar al Format:Mvar și Format:Mvar pot fi alese astfel încât Format:Mvar, sau, altfel spus, dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt elemente nenule și Format:Mvar este c.m.m.d.c. Format:Mvar al lui Format:Mvar și Format:Mvar, atunci Format:Mvar este c.m.m.m.c. al lui Format:Mvar și Format:Mvar și reciproc. Urmează că existența c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. transformă Format:Math într-o Format:Ill-wd, unde „~” indică relația de echivalență a elementelor asociate. Echivalența dintre existența c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. nu este un corolar al rezultatului similar pe Format:Ill-wd, deoarece Format:Math nu trebuie să fie o latice completă pentru un inel factorial Format:Mvar.

Dacă Format:Mvar este un inel factorial, inelul polinoamelor Format:Math este, de asemenea, un inel factorial.

Format:Mvar este un inel factorial dacă și numai dacă intersecțiile finite ale idealelor sale principale sunt principale. În special, $(a)\cap (b)=(c)$, unde $c$ este c.m.m.m.c pentru $a$ și $b$.

Pentru un polinom în Format:Mvar peste un inel factorial se poate defini conținutul său ca c.m.m.d.c. al tuturor coeficienților săi. Atunci valoarea unui produs de polinoame este produsul valorilor lor, așa cum este exprimat prin Format:Ill-wd, care este valabilă peste inelele factoriale.

Exemple

• Un Format:Ill-wd (adică un domeniu de integritate în care orice ideal finit generat este principal) este un inel factorial. Spre deosebire de un Format:Ill-wd (unde orice ideal este principal), un domeniu Bézout nu trebuie să fie un inel factorial. Un domeniu de integritate este un Format:Ill-wd c.m.m.d.c. dacă și numai dacă este un domeniu Bézout.
• Un inel monoid comutativ $R[X;S]$ este un inel factorial dacă $R$ este un inel factorial și $S$ este un semiinel factorial fără Format:Ill-wd anulator. Un semiinel factorial este un semigrup cu proprietatea suplimentară că pentru orice $a$ și $b$ din semigrupul $S$, există un $c$ astfel încât $(a+S)\cap (b+S)=c+S$. În special, dacă $G$ este un grup abelian, atunci $R[X;G]$ este un inel factorial dacă $R$ este un inel factorial și $G$ este fără torsiune.
• Inelul $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ nu este un inel factorial pentru orice număr liber de pătrate $d\ge 3.$