Pseudosferă

În geometrie o pseudosferă este o suprafață cu Format:Ill-wd negativă constantă.

O pseudosferă cu raza Format:Mvar este o suprafață în ${ℝ}^3$ având curbura $-1/R^2$ în fiecare punct. Numele său provine din analogia cu sfera de rază Format:Mvar, care este o suprafață cu curbura $1/R^2$. Termenul a fost introdus de Eugenio Beltrami în lucrarea sa din 1868 despre modelele de geometrie hiperbolică.

Tractricoid

Tractricoid

Aceeași suprafață poate fi descrisă ca rezultat al rotației unei Format:Ill-wd în jurul asimptotei sale. Din acest motiv pseudosfera se mai numește și tractricoid. De exemplu, jumătate de pseudosferă (cu raza 1) este suprafața de revoluție a tractricei parametrizată de

$t\mapsto (t-\tanh t,\mathrm{sech}t),0\le t<\mathrm{\infty }.$

Este un spațiu singular (ecuatorul este o singularitate), dar, spre deosebire de singularități, are curbura gaussiană negativă constantă și, prin urmare, este local izometric cu planul hiperbolic.

Denumirea de „pseudosferă” vine de la faptul că este o suprafață bidimensională cu curbura gaussiană negativă constantă, la fel cum o sferă este o suprafață cu curbură gaussiană pozitivă constantă. Așa cum sfera are în fiecare punct geometria curbă a unui dom, pseudosfera are în fiecare punct geometria curbă a unei șei.

Încă din 1693 Christiaan Huygens a descoperit că aria suprafeței pseudosferei și volumul delimitat de ea sunt finite, chiar dacă forma se extinde la infinit de-a lungul axei de rotație. Pentru o rază dată Format:Mvar a ecuatorului, aria este Format:Math la fel ca pentru sferă, în timp ce volumul este Format:Math, adică jumătate din aceea a unei sfere cu aceeași rază.

Spatiul de acoperire universal

Pseudosfera și relația ei cu alte trei modele de geometrie hiperbolică: Format:Ill-wd, modelul discului Poincaré și Format:Ill-wd

Jumătatea pseudosferei de curbură Format:Math este acoperită de interiorul unui oriciclu. În Format:Ill-wd o alegere convenabilă este porțiunea semiplanului cu Format:Math. Atunci funcția de acoperire este periodică în direcția Format:Mvar cu perioada Format:Math și aplică oriciclele Format:Math pe meridianele pseudosferei și geodezicele verticale Format:Math pe tractricele care generează pseudosfera. Această aplicare este o izometrie locală, prin urmare prezintă porțiunea Format:Math a semiplanului superior ca Format:Ill-wd universal al pseudosferei. Funcția exactă este

$(x,y)\mapsto (v(\mathrm{arcosh}y)\cos x,v(\mathrm{arcosh}y)\sin x,u(\mathrm{arcosh}y))$

unde

$t\mapsto (u(t)=t-\tanh t,v(t)=\mathrm{sech}t)$

este parametrizarea tractricei de mai sus.

Hiperboloid

În unele surse care utilizează Format:Ill-wd pentru planul hiperbolic, hiperboloidul este denumit „pseudosferă”. Această utilizare a cuvântului se datorează faptului că hiperboloidul poate fi gândit ca o sferă de rază imaginară, încorporat într-un spațiu Minkowski.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Hiperboloid
• Sferă

Legături externe

• Format:En icon Non Euclid
• Format:En icon Crocheting the Hyperbolic Plane: An Interview with David Henderson and Daina Taimina
• Format:En icon Norman Wildberger lecture 16, History of Mathematics, University of New South Wales. YouTube. 2012 May.
• Format:En icon Pseudospherical surfaces at the virtual math museum.