Criteriul lui Raabe-Duhamel

Format:Referințe În analiza matematică, regula lui Raabe-Duhamel este un complement al criteriului raportului (D'Alembert), reprezentând unul dintre criteriile de convergență ale seriilor.

Denumirea sa este legată de numele matematicienilor Joseph Ludwig Raabe și Jean-Marie Duhamel.

Se enunță astfel Fie $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ un șir de numere reale cu $a_n>0$. Definim un alt sir $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}},b_n=n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)$ si $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$. Atunci:

• dacă $L<1$, seria $\sum a_n$ este divergentă,
• dacă $L>1$, seria $\sum a_n$ este convergentă,
• dacă $L=1$ nu putem preciza nimic privind natura seriei (testul este inconcluziv).

Exemplu

Pentru a calcula limita seriei cu termenul general:

$x_n=n!{\left(\frac{a}{n}\right)}^n,a\in ℝ,$

se aplică criteriul Raabe-Duhamel:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\frac{1}{e}-1)=$

$=n({\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\frac{1}{e}-1)=\frac{1}{e}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(1+\frac{1}{n}{)}^n-e}{\frac{1}{n}}.$

Se aplică regula lui l'Hôpital:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}-1}[x-(1+x)\ln (1+x)]}{x^2}=-\frac{e}{2};$

și rezultă că seria este divergentă.

Bibliografie

• Format:Fr iconJean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221
• Format:De iconKonrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7