Regula lui l'Hôpital

Guillaume de l'Hôpital

În analiza matematică, regula lui l'Hôpital (scrisă adesea și regula lui l'Hospital) este o regulă care presupune folosirea derivatelor pentru calculul unor limite de funcții care conțin o nedeterminare (cel mai adesea de tipul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$). În ciuda numelui, aceasta a fost descoperită de Johann Bernoulli.

Într-o formă simplificată, enunțul teoremei spune că pentru funcțiile $f,g:I\setminus \{c\}\to ℝ$, $I$ un interval ce include intervalul $(a,b)$, $c\in (a,b)$, dacă avem:

$\mathrm{\exists }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ sau }\mathrm{\exists }\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$, și

$\mathrm{\exists }\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\in \overline{ℝ}$  , și

$g^{\prime }(x)\ne 0$ pentru orice Format:Math din Format:Math, Format:Math,

atunci:

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.